Riduzione deterministica dell'errore, all'avanguardia?

Supponiamo che uno abbia un algoritmo randomizzato (BPP) $A$ usa $r$ bit di casualità. I modi naturali per amplificare la sua probabilità di successo a $1-\delta$ , per qualsiasi $\delta>0$ scelto , sono

• Piste indipendenti + maggioranza: eseguire $A$ autonomo $T=\Theta(\log(1/\delta)$ . Volte, e prendere il voto della maggioranza delle uscite Ciò richiede $rT =\Theta(r\log(1/\delta))$ bit di casualità, e fa saltare il tempo di funzionamento di un fattore $T=\Theta(\log(1/\delta))$ .
• Esecuzioni indipendenti a coppie + Chebyshev: esegui $A$ "in modo indipendente a coppie" $T=\Theta(1/\delta)$ volte e confronta con una soglia Ciò richiede $rT =\Theta(r/\delta)$ bit di casualità e fa saltare il tempo di esecuzione di un fattore $T=\Theta(1/\delta)$ .

Karp, Pippenger, e Sipser [1] (a quanto pare, non ho potuto mettere le mani sulla carta stessa, si tratta di un conto di seconda mano) alternativa fornito approcci basati su forti espansioni normali: in sostanza, vedere i $2^r$ nodi della expander come i semi casuali. Scegli un nodo casuale dell'espansore usando i bit casuali $r$ , quindi

• fai una breve camminata casuale di lunghezza $T=\Theta(\log(1/\delta))$ da lì, ed esegui $A$ sui semi $T$ corrispondenti ai nodi sul percorso, prima di ottenere un voto a maggioranza. Ciò richiede $r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$ bit di casualità e aumenta il tempo di esecuzione di un fattore $T=\Theta(\log(1/\delta))$ .

• eseguire $A$ su tutti i vicini del nodo corrente (o, più in generale, tutti i nodi entro una distanza $c$ dal nodo corrente) prima di ottenere il voto a maggioranza. Ciò richiede $r$ bit di casualità e fa esplodere il tempo di esecuzione di un fattore $T=d$ , dove $d$ è il grado (o $d^c$ per il vicinato distanza $c$ . Impostando bene i parametri, questo finisce per costare $T=\operatorname{poly}(1/\delta)$ qui.

Sono interessato all'ultimo punto, che corrisponde alla riduzione degli errori deterministici . C'è stato qualche miglioramento dopo [1], riducendo la dipendenza di $T$ da $\delta$ ? Qual è l'attuale migliore ottenibile - $1/\delta^\gamma$ per il quale $\gamma > 1$ ? $\gamma > 0$ ? (Per $\textsf{BPP}$ ? Per $\textsf{RP}$ ?)

Nota: sono anche (molto) interessato a $\textsf{RP}$ anziché a $\textsf{BPP}$ . Come introdotto in [2], la costruzione pertinente non è più espansori, ma dispersori (vedi ad esempio queste note di lezione di Ta-Shma, in particolare la Tabella 3). Non sono riuscito a trovare i limiti corrispondenti per l' amplificazione deterministica (non un singolo bit più casuale della $r$ consentita ), tuttavia, né (cosa più importante) quali sono le costruzioni di dispersori espliciti all'avanguardia per la gamma di parametri pertinente .

[1] Karp, R., Pippenger, N. e Sipser, M., 1985. Un compromesso di casualità nel tempo . Nella conferenza AMS sulla complessità computazionale probabilistica (Vol. 111).

[2] Cohen, A. e Wigderson, A., 1989, ottobre. Dispersori, amplificazione deterministica e fonti casuali deboli. Nel trentesimo simposio annuale sui fondamenti dell'informatica (pagg. 14-19). IEEE.

$O(1/\delta)$$\lambda$$O(\sqrt{\delta})$$\lambda = O(1/\sqrt{d})$

$C/\delta$$C$$O(1/\delta)$

$\Omega(1/\delta)$