Prova del problema del limite superiore della somma delle radici quadrate

In [1], Garey et al. identificare ciò che in seguito sarebbe stato noto come la somma del problema delle radici quadrate nel corso della elaborazione della completezza NP del TSP euclideo.

Dati i numeri interi e , determinano se$a_1, a_2, \ldots, a_n$$L$$\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L$

Rilevano che non è nemmeno evidente che questo problema è in NP poiché non è chiaro quale le cifre minime di precisione sono necessari nel calcolo delle radici quadrate di confrontare sufficientemente la somma di . Tuttavia, citano un limite superiore più noto di dove è "il numero di cifre nell'espressione simbolica originale". Sfortunatamente, questo limite superiore è attribuito semplicemente a una comunicazione personale di AM Odlyzko.$L$$O(m2^n)$$m$

Qualcuno ha un riferimento adeguato a questo limite superiore? Oppure, in assenza di un riferimento pubblicato, sarebbe utile anche uno schizzo di prova.

Nota: credo che questo limite possa essere dedotto come conseguenza di risultati più generali di Bernikel et. al. [2] da circa 2000 sui limiti di separazione per una più ampia classe di espressioni aritmetiche. Sono per lo più interessato a riferimenti più contemporanei (cioè: ciò che era noto intorno al 1976) e / o prove specializzate solo nel caso della somma delle radici quadrate.

1. Garey, Michael R., Ronald L. Graham e David S. Johnson. " Alcuni problemi geometrici completi NP ." Atti dell'ottavo simposio annuale ACM sulla teoria dell'informatica. ACM, 1976.

2. Burnikel, Christoph, et al. " Una separazione forte e facilmente calcolabile legata alle espressioni aritmetiche che coinvolgono i radicali ." Algorithmica 27.1 (2000): 87-99.

Ecco uno schizzo a prova piuttosto sciatto. Sia dove . Questo è un numero algebrico di grado al massimo e altezza al massimo . Ora è facile controllare se (può essere fatto anche in - vedi questo ). Se allora è limitato da da una quantità (perché è un numero algebrico e quindi è una radice diversa da zero di un polinomio univariato) che è una funzione del grado e dell'altezza del polinomio minimo di$S = \sum_{i=1}^n \delta_i \sqrt{a_i}$$\delta_i \in \{\pm 1\}$$2^n$$H = (max(a_i))^{n}$$S = 0$$TC^0$S≠00Sai2nS√$S \neq 0$$0$$S$. Sfortunatamente, la dipendenza dal grado è esponenziale nel numero di radici quadrate (e se gli sono numeri primi distinti, questo limite di grado è persino stretto, sebbene quel caso di valutazione dei segni sia facile da gestire). La precisione richiesta è dunque esponenziale del numero di radici quadrate, che è -bits per . Ora è sufficiente troncare ciascuno dei per dire$a_i$$2^n$$S$$\sqrt{a_i}$$2^{10n}$Sbit per garantire che il segno sia garantito. Ciò viene fatto facilmente tramite molti passaggi polinomiali dell'iterazione di Newton). Ora sta a verificare se la somma è positiva, che è solo un'aggiunta e quindi lineare nel numero di bit nei riepiloghi. Si noti che questo calcolo è in tempo polinomiale su una macchina BSS. Si noti inoltre che non stiamo eseguendo alcun calcolo direttamente con il polinomio minimo di stesso, che potrebbe avere enormi coefficienti e apparire brutto, lo usiamo solo per ragionare sulla precisione a cui dobbiamo troncare le radici quadrate. Per maggiori dettagli, consulta il documento di Tiwari .$S$