Prova che la moltiplicazione della matrice non è in

Si ritiene comunemente che per tutto , sia possibile moltiplicare due matrici nel tempo . Qualche discussione è qui .$\epsilon > 0$$n \times n$$O(n^{2 + \epsilon})$

Ho chiesto ad alcune persone che hanno più familiarità con la ricerca se pensano che esista un indipendente da tale che esiste un algoritmo per la moltiplicazione di matrici e sembravano schiacciante intuizione che la risposta è "no" ma non è in grado di spiegare il perché. Cioè, credono che possiamo farlo in tempo , ma non in tempo .$k>0$$n$$O(n^2 \log^k n)$$O(n^{2.001})$$O(n^2 \log^{100} n)$

Quali ragioni ci sono per credere che non ci sia un algoritmo su un fisso ?$O(n^2 \log^k n)$$k>0$

C'è un algoritmo per moltiplicare una matrice con una matrice in operazioni aritmetiche. L'identità principale usata per questo proviene dal documento di Coppersmith "Rapida moltiplicazione di matrici rettangolari", ma la spiegazione del perché porta a invece di trova nell'appendice del documento di Williams , "Nuovi algoritmi e limiti inferiori per circuiti con gate di soglia lineari".$N \times N^{0.172}$$N^{0.172} \times N$$N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$$N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$$N^{2 + \epsilon}$

Questo funziona solo perché l'identità di Coppersmith ha una struttura aggiuntiva che puoi sfruttare e gli algoritmi MM più recenti non sembrano avere questa struttura. Detto questo, non sono sicuro del motivo per cui non si può sperare di estendere questo approccio alla moltiplicazione della matrice$N \times N \times N$

Bene, una cosa è che penso che tutte le costruzioni che conosciamo - e persino le famiglie di potenziali costruzioni che le persone hanno proposto (ad esempio, approcci di Cohn-Umans, generalizzazioni di Coppersmith-Winograd) - "semplicemente" produrrebbero una famiglia di algoritmi $A_\epsilon$ esecuzione nel tempo $O(n^{2+\epsilon})$ . Quindi, per avere un singolo algoritmo eseguito in $O(n^2 poly(\log n))$ , non dovrebbe essere semplicemente pazzo asintoticamente migliore degli approcci attuali, ma dovrebbe apparire davvero diverso.

Grande avvertimento: penso. Non ho mai pensato troppo a quanto si sarebbe dovuto modificare / aggiungere alla già esistente approcci in modo che potessero plausibilmente produrre un unico algoritmo di esecuzione in tempo $O(n^2 poly(\log n))$ .

Josh Alman ha mostrato alcuni fantastici risultati con il limite inferiore di MM, che ha vinto il premio CCC 2019 per il miglior studente! http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2019/10834/pdf/LIPIcs-CCC-2019-12.pdf