Problemi di ottimizzazione di MSOL su grafici di larghezza di banda limitata, con predicati di cardinalità

CMSOL sta contando la logica monadica del secondo ordine, cioè una logica di grafici in cui il dominio è l'insieme di vertici e spigoli, ci sono predicati per l'adiacenza vertice-vertice e l'incidenza di vertice-vertice, c'è quantificazione su spigoli, vertici, insiemi di bordi e vertici imposta e esiste un predicato che esprime se la dimensione di è modulo .Sn$\textrm{Card}_{n,p}(S)$$S$$n$$p$

Il famoso teorema di Courcelle afferma che se è una proprietà dei grafici esprimibili in CMSOL, allora per ogni grafico di larghezza dell'albero al massimo si può decidere in tempo lineare se vale, a condizione che sia data una decomposizione dell'albero di nella ingresso. Le versioni successive del teorema lasciarono cadere la richiesta di una decomposizione dell'albero nell'input (perché uno può essere calcolato con l'algoritmo di Bodlaender ), e permise anche l'ottimizzazione invece della semplice decisione; cioè, data una formula MSOL , possiamo anche calcolare l'insieme più grande o più piccolo che soddisfa .G k Π G ϕ ( S ) S ϕ ( S $\Pi$$G$$k$$\Pi$$G$$\phi(S)$$S$$\phi(S)$

La mia domanda riguarda l'adattamento del teorema di Courcelle ai grafici della larghezza della cricca limitata. Esiste un teorema simile che dice che se si dispone di un MSOL1 che consente la quantificazione su vertici, spigoli, insiemi di vertici ma non insiemi di spigoli, si ottiene un grafico di larghezza di cricca (con la data espressione di cricca), per ogni fisso si può decidere in tempo lineare se il grafico soddisfa una formula MSOL1 ; tutti i riferimenti che ho visto indicanok k G $G$$k$$k$$G$$\phi$

Problemi di ottimizzazione risolvibili a tempo lineare sui grafici della larghezza della cricca limitata di Courcelle, Makowsky e Rotics, Theory of Computing Systems, 2000.

Ho provato a leggere il documento, ma non è autonomo rispetto alla definizione esatta di MSOL1 ed è francamente difficile da leggere. Ho due domande su cosa sia esattamente possibile ottimizzare in FPT, parametrizzato dalla larghezza di cricca del grafico, se viene fornita un'espressione di cricca nell'input.

• MSOL1 consente al predicato di testare la dimensione di un set modulo un numero?$\textrm{Card}_{n,p}(S)$
• È possibile trovare un set di dimensioni minime / massime che soddisfi una formula MSOL1 in FPT parametrizzato da cliquewidth, quando viene data l'espressione?ϕ ( S $S$$\phi(S)$

Per entrambe queste domande, vorrei anche sapere quali sono i riferimenti corretti da citare quando si richiedono questi risultati. Grazie in anticipo!

Dopo aver chiesto un po 'di più, sembra che le risposte a 1) e 2) siano entrambe SÌ. L'ottimizzazione della cardinalità di un set è possibile in LinEMSOL (come menzionato da Martin Lackner); come mi è stato detto, l'esistenza dei predicati di cardinalità non è un problema in quanto possono essere gestiti in modo efficiente da automi di alberi a stati finiti, che dovrebbero seguire (più esplicitamente che nel documento di riferimento originale) da On parse trees e Myhill-Nerode- digitare strumenti per la gestione di grafici con larghezza del rango limitata .

http://www.labri.fr/perso/courcell/Textes1/BC-Makowsky-Rotics(2000).pdf (che è il documento che hai citato ma una versione più leggibile) definisce LinEMSOL (Definizione 10). LinEMSOL consente problemi di ottimizzazione MSO1 e il Teorema 4 afferma che tali problemi sono trattabili a parametri fissi per quanto riguarda la larghezza della cricca. Quindi la risposta alla tua seconda pallottola / domanda dovrebbe essere sì.

Per quanto riguarda il primo proiettile: in "Minori di vertici, logica monadica del secondo ordine e una congettura di Seese" di Bruno Courcelle e Sang-il Oum gli autori scrivono che "Si può dimostrare che nessuna formula MS φ (X) può esprimere , in ogni struttura, che un insieme X abbia persino cardinalità [10] "dove [10] =" Courcelle, la logica monadica del secondo ordine dei grafici "

Spero possa aiutare