Complessità di convertire un circuito booleano in una formula booleana

Dato un circuito booleano su variabili (che utilizza solo le porte NOT, AND e OR), qual è il modo più efficiente per estrarre la formula booleana rappresentata dal circuito? Esiste un algoritmo polytime per questo problema? $C$ $n$

cc.complexity-theory time-complexity boolean-functions

— Nikhil
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che tipo di porte ha il circuito?

— Lev Reyzin

Quali restrizioni su fan-in o fan-out? Se è solo un fan-out, allora è banale: il circuito stesso è essenzialmente un AST per la formula.

— Mark Reitblatt,

Il fan-in è stato definito generale. Ma per essere precisi, diciamo che AND e OR hanno un fan-in 2. In molti riferimenti in letteratura, trovo che un circuito e formule siano usati in modo intercambiabile, ma voglio sapere se convertire un circuito in una formula è facile problema.

— Nikhil,

In generale, ci si aspetterebbe che qualsiasi formula equivalente possa avere dimensioni esponenziali anche per un piccolo circuito.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

Le formule di dimensioni polinomiali sono equivalenti ai circuiti . I circuiti di polisize ( ) non sono noti per essere equivalenti a . Le formule e i circuiti sono usati in modo intercambiabile di solito quando la profondità del circuito è limitata.

N C^{1}

$NC^1$

P / p o l y

$P/poly$

N C^{1}

$NC^1$

— Kaveh,

Se capisco correttamente la tua domanda, direi che potresti usare la riduzione standard da CIRCUIT-SAT a SAT: Rappresenta ogni gate come una nuova variabile, e quindi rappresenta l'intero circuito in forma CNF, con ogni clausola che ha la forma , dove è la nuova variabile e la formula per il gate è data da , usando le variabili di altre porte per rappresentare gli input. Questo può essere fatto con un semplice attraversamento (in tempo lineare, che è chiaramente ottimale). $(v\leftrightarrow\phi)$ $v$ $\phi$

Ad esempio, se hai tre input, , e , con le porte AND che collegano e nonché e e una porta OR che collega le loro uscite, puoi introdurre tre variabili per rappresentare le porte: , e , rispettivamente: e riscrivi la formula inSi noti che la variabile di output è inclusa esplicitamente. $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_1$ $x_2$ $x_2$ $x_3$ $v_1$ $v_2$ $v_3$

(v_{1} \leftrightarrow (x_{1} \land x_{2})) \land (v_{2} \leftrightarrow (x_{2} \land x_{3})) \land (v_{3} \leftrightarrow (v_{1} \lor v_{2})) \land v_{3} .

$(v_1\leftrightarrow(x_1\land x_2))\land (v_2\leftrightarrow(x_2\land x_3))\land (v_3\leftrightarrow(v_1\lor v_2))\land v_3\,.$

Introduzione agli algoritmi di Cormen et al. spiega questo in dettaglio, nel capitolo sulla completezza NP.

— Magnus Lie Hetland
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CIRCUIT-SAT non utilizza le porte fan-out 1?

— Mark Reitblatt,

Certo, ma per quanto posso vedere, ciò non influisce sulla riduzione / trasformazione. L'idea di rappresentare ciascun output come una nuova variabile significa che è possibile riutilizzare ogni output come input più volte (corrispondente a un fan-out arbitrariamente grande). In altre parole, la soluzione fornita in questa risposta dovrebbe funzionare per circuiti arbitrari.

— Magnus Lie Hetland,

La mia ipotesi sarebbe che questo non è ciò che viene chiesto. Penso che si voglia fare una formula sullo stesso insieme di variabili del circuito.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

Hm. Sì, probabilmente hai ragione. L'introduzione delle nuove variabili ha senso nel caso da CIRCUIT-SAT a CNF-SAT, ma non in un contesto più generale: sono d'accordo.

— Magnus Lie Hetland,

C

$C$

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

ϕ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

$\phi(x_1, x_2, \ldots, x_n)$