Contare il numero di copertine dei vertici: quando è difficile?

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Considera il problema # P-completo del conteggio del numero di coperture dei vertici di un dato grafico $G = (V, E)$ .

Vorrei sapere se ci sono risultati che mostrano come la durezza di tale problema varia con alcuni parametri di (ad esempio, $G$ ). $d = \frac{|E|}{|V|}$

La mia sensazione è che il problema dovrebbe essere più facile sia quando è scarso sia quando è denso, mentre dovrebbe essere difficile quando è "nel mezzo". È davvero così? $G$ $G$ $G$

— Giorgio Camerani
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Vuoi contare tutte le copertine dei vertici o tutte le copertine minime dei vertici di cardinalità? Nota che il primo problema può essere più semplice in alcuni casi, poiché non ti aiuta necessariamente a risolvere un problema NP completo.

— Ryan Williams,

Ciao Ryan, sì, voglio contare tutte le copertine dei vertici. Perché dici "non ti aiuta necessariamente a risolvere un problema NP-completo" ? Se è # P-complete, perché non mi aiuta a risolvere i problemi NP-complete?

— Giorgio Camerani,

@Walter, il conteggio delle assegnazioni di variabili che soddisfano una determinata formula 2SAT è # P-completo ma 2SAT è in P.

— Mohammad Al-Turkistany,

@turkistany: Sì, lo so già ...

— Giorgio Camerani,

@turkistany: ... ma allora? Qualunque sia il problema NP completo, posso convertirlo in SAT, quindi SAT in #SAT, quindi #SAT in # Monotone-2SAT (che è esattamente lo stesso del conteggio delle copertine dei vertici). Quindi perché non dovrei essere in grado di risolvere i problemi NP-completi, vista la possibilità di contare le coperture dei vertici?

— Giorgio Camerani,

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Il problema #VC di calcolare il numero di copertine dei vertici di un dato grafico rimane # P-difficile per i grafici 3-regolari; vedere ad esempio [Greenhill, 2000].

Per mostrare che il problema #VC rimane # P-difficile per i grafici con al massimo $c\cdot n$ bordi, dove $n$ è il numero di vertici e $0<c<3/2$ , ridurre dal caso 3-regolare aggiungendo un'abbastanza grande set indipendente (di dimensioni lineari). Il numero di copertine dei vertici rimane lo stesso se si aggiunge un set indipendente.

Analogamente, per dimostrare che il problema rimane #VC # P-duro per grafici con almeno $c\cdot n^2$ bordi, dove $n$ è il numero di vertici e $0<c<1/2$ , ridurre da #VC aggiungendo un'abbastanza grande componente della cricca (di dimensioni lineari). Il numero di copertine dei vertici viene moltiplicato per $p+1$ se si aggiunge una cricca di dimensioni $p$ a un grafico.

Catherine S. Greenhill: la complessità del conteggio di coloranti e insiemi indipendenti in grafici e ipergrafi sparsi . Complessità computazionale 9 (1): 52-72 (2000)

— Serge Gaspers
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Quindi la deduzione è che #VC per i grafici cubici è # P-completo perché #IS è # P-completo?

— Elimina il

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Seguendo la risposta di Yaroslav, Luby e Vigoda sono stati i primi a mostrare un FPRAS per #IS in una condizione di densità (massimo grado 4, che suppongo sia più debole del risultato di Weitz), mentre Dyer, Frieze e Jerrum hanno dimostrato che non esiste un FPRAS per #IS se il grado massimo del grafico è 25 a meno che RP = NP.

Riferimenti:

Martin Dyer, Alan Frieze e Mark Jerrum. Sul conteggio di insiemi indipendenti in grafici sparsi. FOCS 1999.

Michael Luby ed Eric Vigoda. Contando approssimativamente fino a quattro. STOC 1997.

Vedi anche le note della conferenza ETH di Jerrum, "Conteggio, campionamento e integrazione: algoritmi e complessità".

— RJK
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A proposito, Alan Sly ha dimostrato inapproossimabilità tempo polinomiale per grado massimo = 6 - arxiv.org/abs/1005.5584

— Yaroslav Bulatov

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@Yaroslav: grazie per il riferimento. Sembra una buona lettura!

— RJK,

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Per quanto riguarda la complessità temporale esponenziale, le istanze generali e le istanze con grado massimo costante sono ugualmente difficili: il lemma di sparsificazione di Impagliazzo, Paturi, Zane (2002) mostra che le istanze -variabili di Sat possono essere ridotte a istanze di Sat con al massimo clausole in time . Come osservato nel lavoro congiunto con Husfeldt e Wahlén, il lemma di sparsificazione funziona anche per le versioni di conteggio di Sat, e specialmente per il caso di conteggio $n$ $d$ $d$ $f(d,\epsilon)\cdot n$ $\exp(\epsilon n)$ $d$ $2$ -Sat (che equivale a contare set indipendenti e contare copertine di vertici).

$n$ $\exp(o(n))$

— Holger
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per quanto riguarda il tuo commento finale: ETH significa che SAT non può essere risolto in tempi non esponenziali, il che per riduzioni standard implica che SET INDIPENDENTE non può essere deciso nemmeno in tempi subesponenziali. È quindi immediato che l'ETH implica che il conteggio di insiemi indipendenti non può essere fatto anche in un tempo non esponenziale.

— András Salamon,

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Decidere e contare il numero di set massimi indipendenti è difficile in ETH attraverso una riduzione standard nota di 3SAT. Tuttavia, questa domanda riguardava il conteggio di tutti gli insiemi indipendenti (cioè, non necessariamente il massimo) in un grafico. La versione decisionale è banale: l'insieme vuoto è sempre un insieme indipendente. Confronta anche Hoffmann (2010) , che ha dimostrato che il conteggio di set indipendenti non può essere fatto in tempo

\exp (o (n / \log^{3} n))

$\exp(o(n/\log^3 n))$ a meno che l'ETH fallisca.

— Holger,

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Set è una copertina di vertice se il suo complemento è un set indipendente, quindi questo problema è equivalente al conteggio di set indipendenti.

Il conteggio algebrico di insiemi indipendenti è FPT per i grafici della larghezza della cricca limitata delimitata. Ad esempio, vedi "Un polinomio interlacciato multivariato e il suo calcolo per i grafici della larghezza della cricca limitata", dove calcolano una generalizzazione del polinomio dell'indipendenza. Sommando i coefficienti di polinomio dell'indipendenza si ottiene il numero di insiemi indipendenti.

I grafici con massimo grado 3 possono avere larghezza della cricca illimitata.

Il conteggio numerico di insiemi indipendenti è trattabile quando il problema presenta "decadimento di correlazione". Dror Weitz ( STOC'06 ) fornisce un FPTAS deterministico per contare set indipendenti ponderati su grafici di massimo grado $d$ quando il peso $\lambda$ è

λ < \frac{(Δ - 1)^{Δ - 1}}{(Δ - 2)^{Δ}}

$\lambda<\frac{(\Delta-1)^{\Delta-1}}{(\Delta-2)^\Delta}$

_{(fonte: yaroslavvb.com )}

Il conteggio dei set indipendenti regolari (non ponderati) corrisponde a $\lambda=1$ quindi il suo algoritmo fornisce FPTAS per il numero di copertine dei vertici su grafici di massimo grado 5.

Il suo algoritmo si basa sulla costruzione di un albero di camminata che evita se stesso in corrispondenza di ciascun vertice e che tronca questo albero in profondità $d$ . Il fattore di ramificazione degli alberi che si auto-evitano a piedi determina la portata di $\lambda$ per quale piccola profondità $d$ dà una buona approssimazione e la formula sopra è derivata usando il massimo grado del grafico per limitare questo fattore di ramificazione.

— Yaroslav Bulatov
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Il problema con lavorare con IS invece che con VC è che i grafici del complemento possono perdere alcune belle proprietà che si vogliono: ad esempio, "grado limitato al massimo k" diventa "con grado almeno nk", che ora dipende dalla dimensione dell'istanza. Questo può o meno essere rilevante.

— András Salamon,

@ András È il set di vertici ad essere complicato, non il set di bordi.

— Tyson Williams,