Trovare un numero primo maggiore di un dato limite

È un algoritmo deterministico a tempo polinomiale noto per il seguente problema:

Input: un numero naturale (in codifica binaria) $n$

Uscita: un numero primo . $p > n$

(Secondo un elenco di problemi aperti di Leonard Adleman, il problema era aperto nel 1995.)

— Vincenzo
fonte

+1: Mi ha ricordato che il corrispondente problema di decisione naturale non è il test di primalità (che è in ) ma piuttosto il seguente problema: dato , c'è un numero primo nell'intervallo ?

P

$\mathbf{P}$

a < b

$a<b$

[a, b]

$[a,b]$

— Kaveh,

@Kaveh: Tre dita che mi puntano contro, immagino. Dovremmo stabilire una politica che vieti le risposte nei commenti;)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Risposte:

Il miglior risultato incondizionato attuale è stato dato da Odlyzko, che trova un primo nel tempo . La forte congettura nel progetto Polymath4 cerca di risolvere se ciò può essere fatto in tempi polinomiali, sotto ipotesi di teoria dei numeri ragionevoli come il GRH. $p >N$ $O(N^{1/2 + o(1)})$

http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Finding_primes

Attualmente il progetto cerca di rispondere alla seguente domanda:

Dato un numero e un intervallo tra e , controlla il tempo per qualche se l'intervallo contiene un numero primo. $N$ $N$ $2N$ $O(N^{1/2 - c})$ $c>0$

Finora hanno una strategia che determina la parità del numero di numeri primi nell'intervallo.

http://polymathprojects.org/2010/06/29/draft-version-of-polymath4-paper/

— Cong Han
fonte

Supponendo congetture standard nella teoria dei numeri, che afferma che

Congettura di Cramér : Sia il n-esimo primo. Quindi . $p_n$ $p_{n+1}-p_n = O(\log^2 p_n)$

Abbiamo un algoritmo deterministico in tempo polinomiale per il problema, semplicemente eseguendo il test di primalità su ciascun numero maggiore di partire da . (Certo, $n$ $n+1$ $n$ $n$

Ma non sono sicuro che questo possa essere dimostrato incondizionatamente.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
fonte

Sono curioso di sapere quanto sia standard la congettura di Cramér. Avevo l'impressione che le probabilità fossero contro di esso.

— Cong Han,

@Cong: non ho molta familiarità con la congettura, e la mia impressione è che abbiamo evidenze nei risultati numerici e anche nel modello casuale. C'è qualche indicazione che la congettura potrebbe essere falsa? Forse dovrei dichiarare "forte" anziché "standard".

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chih: ne so molto poco (oltre ad alcuni sentito dire e ad avere un interesse passante per i progetti Polymath), ma questo articolo di Granville, collegato dal wiki sulla congettura, sembra suggerire così: dartmouth.edu/~ chance / chance_news / for_chance_news / Riemann /…

— Cong Han

@Cong: Sembra una bella lettura, lo farò tra qualche giorno!

— Hsien-Chih Chang 張顯之