Divario di integralità e rapporto di approssimazione

Quando consideriamo un algoritmo di approssimazione per un problema di minimizzazione, il divario di integrità di una formulazione IP per questo problema fornisce un limite inferiore di un rapporto di approssimazione per una certa classe di algoritmi (come arrotondamento o algoritmo primal-dual). In effetti, ci sono molti problemi il cui miglior rapporto di approssimazione corrisponde al gap di integralità.

Alcuni algoritmi potrebbero avere un rapporto di approssimazione migliore rispetto al divario di integralità per qualche problema, ma non so se un tale esempio esiste o meno. Se la risposta è sì, potresti fare qualche esempio?

So che alcuni problemi ammettono molteplici formulazioni matematiche. In tali casi, considera la formulazione matematica con il minimo divario di integralità, purché possa essere risolta in tempo polinomiale (forse alcune formulazioni possono usare oracoli di separazione).

Questa domanda è correlata a [la domanda: l'importanza del divario di integralità] .

— Snowie
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Immagino che il TSP geometrico sia un esempio di tale problema, ma non ho riferimenti.

— Jukka Suomela,

E i problemi che ammettono un PTAS usando la strategia di spostamento? Qualcuno di questi ha una formulazione IP con un gap di integralità arbitrariamente piccolo?

— Jukka Suomela,

@Jukka geometric TSP è un buon esempio. L'esempio di gap di integralità 4/3 è una metrica del percorso più breve su un grafico planare e dovrebbe essere possibile trasformarsi in un'istanza di TSP euclideo o

TSP nel piano con un gap

ℓ_{1}

$\ell_1$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— Luca Trevisan,

Ho sentito dire come un'interessante domanda aperta se i PTAS per problemi sui grafici planari possano essere realizzati usando un numero costante di livelli di rilassamento di Sherali-Adams o Lasserre. (Dove la costante dipende dalla razione di approssimazione che si vuole ottenere.) Dovrebbe essere noto, o almeno dimostrabile con le tecniche attuali, che i problemi del grafico che hanno PTAS nei grafici densi (ad es. Taglio massimo) hanno anche una famiglia di polinomi rilassamenti di dimensioni con lacune di integralità arbitrariamente piccole.

— Luca Trevisan,

Domanda correlata: c'è qualche problema che è dimostrato che qualsiasi LP di dimensioni polinomiali non può fornire l'attuale rapporto di approssimazione più noto? È possibile provare una cosa del genere, anche per alcuni tipi limitati di LP?

— Danu,

Risposte:

Come sottolineato, ci sono alcuni esempi.

Un esempio classico è la corrispondenza massima, in cui il rilassamento "naturale" (senza vincoli di serie dispari) ha un gap di 2, mentre esiste ovviamente un algoritmo efficiente. Questo però non si qualifica del tutto, poiché esiste un LP di dimensioni esponenziali che può essere risolto tramite ellissoide.

Un'interessante è la posizione della struttura condensata. Qui il rilassamento naturale ha un gap di integralità illimitato. Tuttavia, gli algoritmi basati sulla ricerca locale forniscono approssimazioni di fattori costanti.

Un altro aspetto molto interessante (sebbene si tratti di un problema di massimizzazione) è questo documento: http://www.cis.upenn.edu/~sanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdf . Qui l'LP ha un grande divario, eppure un algoritmo che utilizza quell'LP può fare di meglio.

— Kunal
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Grazie mille. Questa risposta contiene ciò che stavo cercando, in particolare il documento FOCS scritto da Chakrabarty et al. (questo documento mi interessa così tanto). Pertanto ho impostato questa risposta come accettata. Sto ancora cercando altri esempi e quindi chiunque possa fornire altri esempi sarebbe molto apprezzato.

— Snowie,

Vi sono vari esempi in cui un rilassamento di programmazione semidefinito consente un'approssimazione che è superiore alle lacune di integrità note per i rilassamenti di programmazione lineare.

Ad esempio, il rilassamento di programmazione lineare standard di max cut ha un gap di integralità di 1/2, e questo vale anche per i rilassamenti di programmazione lineare molto più sofisticati (cfr. De la Vega-Kenyon e Schoenebeck-Trevisan-Tulsiani), ma i Goemans -L'algoritmo di William SDP ha approssimazione .878 ...

$\Omega(\log n)$ $O(\sqrt{\log n})$

Forse meno noto, Karloff e Zwick mostrano che usando SDP si può approssimare Max 3SAT, nella versione in cui le clausole possono avere 1, 2 o 3 letterali, entro 7/8, mentre Goemans e Williamson avevano studiato un rilassamento di programmazione lineare che usato per dimostrare un'approssimazione di 3/4 (Yannakakis aveva dato un'approssimazione di 3/4 prima con altri metodi), e il rilassamento Goemans-Williamson LP di Max 3SAT è facilmente visto avere un gap di integrità 3/4.

— Luca Trevisan
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C'è anche un risultato di Grant sulla risoluzione di sistemi lineari su GF_2. Per i sistemi di equazioni con una buona soluzione, hai un gap di integrità SDP (in una forma molto forte) di 2 mentre puoi usare l'eliminazione gaussiana per risolvere esattamente il problema.

— YI WU
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