Limiti inferiori delle dimensioni dei CFG per linguaggi finiti specifici

Considera la seguente domanda naturale: dato un linguaggio finito , qual è la più piccola grammatica senza contesto che genera ?$L$$L$

Possiamo rendere la domanda più interessante specificando una sequenza di lingue , ad esempio L n è l'insieme di tutte le permutazioni di { 1 , ... , n } : intuitivamente, un CFG per L n avrebbe "bisogno" di avere dimensioni Ω ( n ! ) . Quindi siamo interessati alla dimensione asintotica dei CFG più piccoli per le lingue.$L_n$$L_n$$\{1,\ldots,n\}$$L_n$$\Omega(n!)$

Domande simili sono state trattate in diversi articoli:

• Charikar et al. ("Approssimazione della grammatica più piccola: complessità di Kolmogorov in modelli naturali") considera quanto sia difficile approssimare la dimensione del CFG più piccolo che genera una determinata parola .
• Altro lavoro in quella direzione è Arpe e Reischuk, "Sulla complessità della compressione basata su grammatica ottimale".
• Peter Asveld ha diversi articoli sull'argomento (ad esempio "Generazione di tutte le permutazioni da grammatiche senza contesto in forma normale di Chomsky"). Sta cercando di ottimizzare alcuni parametri su specifici tipi di grammatiche generando l'insieme di tutte le permutazioni, in particolare le forme normali di Chomsky e Greibach.

$\Omega(n!)$$L_n$

Esistono documenti che forniscono limiti inferiori per la dimensione delle grammatiche libere dal contesto per lingue finite specifiche?

$L_n$

Un gentile revisore mi ha inviato un documento che dimostra esattamente lo stesso limite inferiore che faccio, esattamente allo stesso modo. Il documento è

K. Ellul, B. Krawetz, J. Shallit, M.-w. Wang, Espressioni regolari: nuovi risultati e problemi aperti , J. Autom. Lang. Pettine. 10 (2005), 407–432.

Il risultato è Teorema 30 nel documento.