Stima della dimensione VC

Cosa si sa del seguente problema?

Data una raccolta di funzioni , trova una sottocollection più grande soggetta al vincolo che VC-Dimensione per un numero intero . $C$ $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $S \subseteq C$ $(S) \leq k$ $k$

Esistono algoritmi di approssimazione o risultati di durezza per questo problema?

— Aaron Roth
fonte

Le funzioni sembrano non avere alcun ruolo nel massimizzare | S |

— Suresh Venkat,

La scelta delle funzioni determina la dimensione VC di S. Il problema è trovare una classe di funzioni il più ampia possibile, soggetta a un vincolo della dimensione VC.

— Aaron Roth,

Vedo. Quindi tradotto in "terra della geometria", ti viene data una raccolta di intervalli (f funge da funzione caratteristica) e vuoi una più grande raccolta di dimensioni VC limitate.

— Suresh Venkat,

L'altro problema nel rispondere alla domanda: come viene presentato C? Sappiamo che la dimensione massima possibile di

secondo il Lemma di Sauer, e scrivere anche una sola funzione in

richiede

bit.

S

$S$

O (2^{n k})

$O(2^{nk})$

C

$C$

n

$n$

— Suresh Venkat,

Giusto. Sono interessato ai risultati in qualsiasi regime di rappresentanza. È possibile immaginare che

sia presentato come

matrice, nel qual caso tempo di esecuzione

sarebbe `` efficiente '' (anche se non tempo

, che è quello che sarebbe necessario per verificare in modo esaustivo se tutte le raccolte di

punti fossero state frantumate). Se sono possibili risultati algoritmici con un semplice accesso alla query black-box alle funzioni in

, sarebbe ancora meglio.

C

$C$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n \times k}

$2^{n\times k}$

k

$k$

C

$C$

— Aaron Roth,

Risposte:

Modifica : il problema originale è -duro ravvicinamento quando , dove indica il numero di serie. $n^{1-\epsilon}$ $k=1$ $n$

Il doppio di un ipergrafo si ottiene scambiando vertici con bordi e preservando le incidenze. È più facile capire il problema quando notiamo che un ipergrafo ha la dimensione VC 1 se il suo doppio è privo di croce (per tutti in , almeno uno di è vuoto). $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

Per dualità il problema originale (per ) equivale a, dato un ipergrafo , trovare una dimensione massima con croce. $k=1$ $(V, \mathcal{S})$ $U \subseteq V$ $(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

In realtà, questo (doppio) problema è molto difficile anche quando tutti gli insiemi in hanno dimensione 2: quindi è un grafico e stiamo cercando una dimensione di vertice di dimensione massima il cui sottografo indotto che non contiene alcun percorso a due bordi ( non è difficile vedere questo è l'unico modo in cui può sorgere una coppia di attraversamenti, supponendo che il grafico abbia almeno 4 vertici). Ma questa proprietà è ereditaria e non banale e quindi possiamo usare un risultato di Feige e Kogan per mostrare durezza. $\mathcal{S}$

Risposta originale

Il doppio problema per (trova una dimensione massima tale che la dimensione VC doppia di sia al massimo 1) è difficile da approssimare entro (in una famiglia con insiemi). $k=1$ $S$ $S$ $n^{1-\epsilon}$ $\Theta(n)$

La ragione di ciò è che la doppia dimensione VC di una famiglia è 1 se vale quanto segue: per tutte in , almeno una di è vuoto. (Vale a dire VC-dim = 1 è il doppio di ciò che viene spesso chiamato cross-freeness.) $A$ $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

Riduciamo dal set indipendente al calcolo della sottofamiglia cross-free di dimensioni massime. Dato un grafico costruisci un ipergrafo dove per alcuni elementi fittizi . Per ogni vertice di , aggiungiamo il seguente set a : $G=(V, E)$ $H=(X, S)$ $X = V \uplus E \uplus \{0\}$ $0$ $v$ $G$ $T_v$ $S$

{v} \cup {e ∣ e is an edge incident to v} .

$\{v\} \cup \{e \mid e \textrm{ is an edge incident to }v\}.$

Non è difficile mostrare una famiglia è attraversamento libero sse è indipendente in . $\{T_v\}_{v \in U}$ $U$ $G$

Ma per il problema originale (primordiale), sembra necessario un po 'più di pensiero ... sembra interessante!

— daveagp
fonte

Alcuni lavori correlati rilevanti: stimare la dimensione VC stessa (figuriamoci trovare una grande sottocollection con dimensione VC limitata) nella rappresentazione è LOGNP completo (LOGNP è NP limitato a registrare n bit di non determinismo). C'è anche un po 'di lavoro correlato sulla stima e l'approssimazione della dimensione VC quando la presentazione dello spazio della gamma è più compatta (vedi anche i riferimenti all'interno)

— Suresh Venkat
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