Funzione calcolabile in modo efficiente come contro-esempio della congettura di Mobius di Sarnak

Recentemente Gil Kalai e Dick Lipton hanno entrambi scritto un bell'articolo su un'interessante congettura proposta da Peter Sarnak, un esperto di teoria dei numeri e ipotesi di Riemann.

Congetturare. Sia la funzione di Möbius . Supponiamo che sia una funzione con input sotto forma di rappresentazione binaria di , quindi $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = o (n) .$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

Nota che se allora abbiamo una forma equivalente del teorema dei numeri primi . $f(k) = 1$

AGGIORNAMENTO : Ben Green su MathOverflow fornisce un breve documento che afferma di provare la congettura. Dai un'occhiata al foglio .

D'altra parte, sappiamo che impostando (con una leggera modifica, quindi l'intervallo è in ), la somma risultante ha la stima Esiste un limite superiore che può essere calcolato in , quindi il vincolo proposto su nella congettura non può essere rilassato in una funzione . La mia domanda è: $f(k) = \mu(k)$ $\\{-1,1\\}$

\sum_{k \leq n} μ (k)^{2} = Ω (n) .

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$

μ (k)

$\mu(k)$

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

f (k)

$f(k)$

N P

$\mathsf{NP}$

Qual è la classe di complessità più bassa che attualmente conosciamo, in modo tale che una funzione in soddisfa la stima in particolare, dal momento che alcuni dei teorici ritiene che l'informatica non si trova in , possiamo fornire altri funzioni che implica una crescita lineare nella somma? Si possono ottenere anche limiti migliori? $\mathsf{C}$ $f(k)$ $\mathsf{C}$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = Ω (n) ?$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ $\mu(k)$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $f(k)$

— Hsien-Chih Chang 張顯之
fonte

Anche alcune classi quantistiche come P ^ {BQNC} dovrebbero funzionare, poiché il factoring si trova in quella classe.

— Robin Kothari,

Questo è noto anche se per un fisso ?

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

— Manu,

@Emanuele, bella domanda. La funzione indicatore dell'i-esimo bit nella rappresentazione binaria di k è un "polinomio di parentesi" lineare, ma ha coefficienti molto alti, quindi potrebbe non seguire dal teorema di Green-Tao sulla correlazione della funzione di Mobius con il limite -step nilsequences. Le conseguenze del passo limitato hanno polinomi a parentesi di grado limitato come casi speciali, ma il loro risultato potrebbe avere alcune restrizioni sulle dimensioni dei coefficienti

— Luca Trevisan,

Ed è noto per ?

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

— domotorp,

Vuoi una funzione con l'intervallo o o qualcos'altro?

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

— Jukka Suomela,