Teorema di gerarchia per dimensioni del circuito

Penso che un teorema della gerarchia delle dimensioni per la complessità del circuito possa essere un importante passo avanti nell'area.

È un approccio interessante alla separazione di classe?

La motivazione per la domanda è che dobbiamo dire

esiste una funzione che non può essere calcolata da circuiti di dimensioni e può essere calcolata da un circuito di dimensioni g ( n ) in cui f ( n ) < o ( g ( n ) ) . (e forse qualcosa per quanto riguarda la profondità)$f(n)$$g(n)$$f(n)<o(g(n))$

quindi, se , la proprietà sembra innaturale (viola la condizione di grandezza). Chiaramente non possiamo usare la diagonalizzazione, perché non siamo in un'impostazione uniforme.$f(m)g(n) \leq n^{O(1)}$

C'è un risultato in questa direzione?

In effetti è possibile dimostrare che, per ogni sufficientemente piccola (meno di 2 n / n ), ci sono funzioni calcolabili da circuiti di dimensione f ( n ) ma non da circuiti di dimensione f ( n ) - O ( 1 ) o anche f ( n ) - 1 , a seconda del tipo di porte consentite.$f$$2^n/n$$f(n)$$f(n)-O(1)$$f(n)-1$

Ecco un semplice argomento che mostra che ci sono funzioni calcolabili nella dimensione ma non nella dimensione f ( n ) - O ( n ) .$f(n)$$f(n)-O(n)$

Lo sappiamo:

1. esiste una funzione che richiede complessità del circuito almeno 2 n / O ( n ) e, in particolare, complessità del circuito più di f ( n ) .$g$$2^n/O(n)$$f(n)$
2. la funzione tale che z ( x ) = 0 per ogni ingresso x è calcolabile da un circuito di dimensioni costanti.$z$$z(x)=0$$x$
3. se due funzioni e g 2 differiscono solo per un ingresso, la loro complessità del circuito differisce al massimo da O ( n $g_1$$g_2$$O(n)$

Supponiamo che sia diverso da zero su N input. Chiamare tali input x 1 , ... , x N . Possiamo considerare, per ogni i , la funzione g i ( x ) che è la funzione indicatore dell'insieme { x 1 , … , x i } ; quindi g 0 = 0 e g N = g .$g$$N$$x_1,\ldots,x_N$$i$$g_i(x)$$\{ x_1,\ldots,x_i \}$$g_0=0$$g_N=g$

Chiaramente c'è qualche tale che g i + 1 ha circuito complessità più di f ( n ) e g io trovi circuito complessità inferiore f ( n ) . Ma poi g i ha una complessità del circuito inferiore a f ( n ) ma superiore a f ( n ) - O ( n ) .$i$$g_{i+1}$$f(n)$$g_i$$f(n)$$g_{i}$$f(n)$$f(n) - O(n)$

Questo risultato può essere dimostrato usando un semplice argomento di conteggio. Considera una funzione casuale applicata ai primi bit dell'input. Questa funzione ha quasi certamente complessità del circuito ( 1 + o ( 1 ) ) ( 2 k / k ) secondo l'argomento di conteggio di Riordan e Shannon e corrispondenti limiti superiori. Quindi, selezionando k in modo che 2 g ( n ) < 2 k / k < f ( n ) / 2 possiamo distinguere la dimensione $k$$(1+o(1))(2^k/k)$$k$$2g(n) < 2^k/k < f(n)/2$ dalla dimensione f ( n ) . Si noti che le funzioni in questione non saranno necessariamente calcolabili, ma possiamo inserirle nella gerarchia temporale esponenziale mediante tecniche standard (purché sia ​​possibile calcolare il giusto valore di k ). Ovviamente non possiamo dimostrare alcun limite superiore a 2 n / n , poiché questa è la complessità del circuito peggiore di qualsiasi funzione. $g(n)$$f(n)$$k$$2^n/n$

Le prove naturali non si applicano per questo tipo di argomento, perché la proprietà in questione è `` non avere un piccolo circuito '', che non è facilmente calcolabile dalla tabella di verità della funzione (presumibilmente). Non è chiaro quanto siano basse le classi di complessità con cui questo tipo di conteggio può andare. C'è qualche motivo per cui non possiamo usare un argomento di conteggio per dimostrare limiti inferiori per ? Non che io sappia. $NE$