Chiusura sotto somma di Minkowski.

La somma di Minkowski di due serie di vettori è data da $A, B \in R^d$

UN \oplus B = {un' + B | un' \in UN, B \in B}

$A \oplus B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \}$

Ho appena sentito un problema interessante (attribuito a Dan Halperin): data una forma , esiste una forma tale che ? $B$ $A$ $A \oplus A = B$

Ma questa non è la mia domanda (sembra essere un problema aperto). Si osservi che nel problema di cui sopra, se è un insieme convesso, allora esiste una soluzione dal insiemi convessi sono chiusi sotto il prelievo di somme Minkowski. $B$ $A = (1/2)B$

Fissare una classe di forme . Diciamo che è chiuso sotto somme Minkowski se per qualsiasi . ${\cal S}$ ${\cal S}$ $A, B \in {\cal S}, A \oplus B \in {\cal S}$

Quindi la mia domanda è:

C'è una bella caratterizzazione delle classi di forme che sono chiuse sotto le somme di Minkowski? ${\cal S}$

cg.comp-geom

— Suresh Venkat
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Jukka: ho aggiornato la domanda.

— Suresh Venkat,

Ho letto la revisione 2. (1) Non riesco a vedere come "gli insiemi convessi si chiudano prendendo somme di Minkowski" è la ragione per "esiste una soluzione A = (1/2) B" (sebbene entrambi i fatti siano chiari). (2) Dubito che ci sia una caratterizzazione equivalente migliore di "chiusa sotto le somme di Minkowski".

— Tsuyoshi Ito

È vero che non c'è un'implicazione diretta. Ma la dimostrazione usa il fatto che la somma di due insiemi convessi è convessa. Potrei riformulare per dire "nota anche che .." invece di "da ..."

— Suresh Venkat

Non penso che usiamo il fatto che la somma di Minkowski di due insiemi convessi sia convessa quando provando (B / 2) ⊕ (B / 2) = B per un insieme convesso B. Il contenimento (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊇B non ha nulla a che fare con la convessità. Il contenimento (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊆B deriva dal fatto che B è convesso: per ogni x, y∈B, (x / 2) + (y / 2) ∈B a causa della convessità di B.

— Tsuyoshi Ito

@Yoshio: è possibile. Questa domanda potrebbe anche essere correlata al lavoro "sommario" anche nei gruppi generali.

— Suresh Venkat,

Le griglie e i sottospazi lineari sono chiusi sotto la somma di Minkowski. Questo è più o meno immediato dalla loro definizione. Le griglie + sottospazi lineari sono chiusi sotto la somma di Minkowski (ad esempio, un membro di questo insieme è ad esempio un insieme di linee parallele distanti tra loro 1). I poligoni collegati con i fori sono chiusi sotto la somma di Minkowski. Gli anelli [le differenze impostate di due dischi concentrici] sono chiusi sotto la somma di Minkowski (un disco è considerato un anello, naturalmente). L'insieme di segmenti di linea paralleli a una determinata direzione sono chiusi sotto la somma di Minkowski. Le patate schiacciate sono chiuse sotto la somma di Minkowski, ma solo se sono ben cotte (o forse no, è troppo tardi) ...

Inoltre, la famiglia dell'unione finita di anelli concentrici è chiusa sotto la somma di Minkowski.

— Sariel Har-Peled
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