Problemi geometrici NP completi in

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Numerosi problemi geometrici sono facili se considerati in , ma NP-completi in per (incluso uno dei miei problemi preferiti, la copertura del disco dell'unità). $R^1$ $R^d$ $d\geq2$

Qualcuno è a conoscenza di un problema che è risolvibile in tempo polifunzionale per e , ma NP-completo per ? $R^1$ $R^2$ $R^d,d\geq3$

Più in generale, esistono problemi che sono NP-completi per ma polimerizzabili per , dove ? $R^k$ $R^{k-1}$ $k\geq3$

cc.complexity-theory reference-request cg.comp-geom

— Bob Fraser
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La corrispondenza tridimensionale è geometrica?

— Jukka Suomela,

1

non proprio. il "tridimensionale" è in senso cartesiano, non euclideo.

— Suresh Venkat,

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Imposta la copertura per mezzo spazio.

Dato un insieme di punti nel piano, e un insieme di semipiani che calcolano il numero minimo di semipiani che coprono gli insiemi di punti può essere risolto in tempo polinomiale nel piano. Il problema tuttavia è NP difficile in 3d (è più difficile che trovare una copertura minima per sottoinsieme di dischi di punti in 2d). In 3d ti viene assegnato un sottoinsieme di semispazi e punti e stai cercando un numero minimo di semispazi che coprono i punti.

L'algoritmo polytime in 2d è descritto qui: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/

— Sariel Har-Peled
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Sono un po 'imbarazzato di non conoscere questo risultato, dato quanto è vicino ai problemi su cui lavoro :-) Questo è anche esattamente il tipo di risposta che speravo. Quando dici che è più difficile della copertina del disco in 2D, immagino che intendi che è APX-difficile?

— Bob Fraser

1

Il secondo problema è polinomiale. L'altro è NP-Hard. Tuttavia, non penso che il problema 3d sia APX difficile. Ci sono buone ragioni per credere che un PTAS potrebbe essere possibile, tramite la ricerca locale ...

— Sariel Har-Peled

... e più duramente intendevo dire che il problema del disco può essere risolto (cioè ridotto) al problema dei semispazi in 3d.

— Sariel Har-Peled,

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Non è proprio quello che chiedi, perché la versione 3d è ancora più difficile di NP-completa, ma: Trovare un percorso più breve tra due punti tra gli ostacoli poligonali nel piano è nel tempo polinomiale (molto semplicemente, costruisci il grafico di visibilità dei due terminali e i vertici poligonali e applicano Dijkstra; esiste anche un algoritmo O (n log n) più complicato dovuto a Hershberger e Suri, SIAM J. Comput. 1999) ma trovare un percorso più breve tra gli ostacoli poliedrici in 3d è completo di PSPACE (Canny e Reif, FOCS 1987).

— David Eppstein
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Sei sicuro del caso planare? Gli algoritmi che citi richiedono fondamentalmente un'aritmetica reale esatta! cstheory.stackexchange.com/questions/4034/…

— Jeffε

Er. Buon punto. E non posso uscirne dicendo di usare il virgola mobile e l'approssimazione, perché il problema 3d può essere ben approssimato. Ops. Immagino che esista un senso "esatto reale aritmetico" in cui uno è polinomiale e l'altro è difficile, ma comunque, hai ragione, è un altro modo in cui non risponde alla domanda.

— David Eppstein,

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Questo è davvero interessante La somma del problema delle radici quadrate si insinua in una serie di problemi in cg in cui il problema sarebbe facile, tranne per questo dettaglio. È fantastico in un certo senso, perché è uno di questi problemi che devi convincere le persone che è difficile. Grazie per i suggerimenti.

— Bob Fraser

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Qualsiasi poligono non convesso nel piano può essere triangolato in O (n) tempo senza punti di Steiner; cioè ogni vertice della triangolazione è un vertice del poligono. Inoltre, ogni triangolazione ha esattamente n-2 triangoli.

Tuttavia, determinare se un poliedro non convesso in R ^ 3 può essere triangolato senza punti di Steiner è NP-completo. Il risultato della durezza NP vale anche se ti viene data una triangolazione con un punto di Steiner, quindi anche l'approssimazione del numero minimo di punti Steiner richiesti è NP-dura. [Jim Ruppert e Raimund Seidel. Sulla difficoltà di triangolare poliedri tridimensionali non convessi. Computo discreto. Geom. 1992.]

Se il poliedro dato è convesso, trovare una triangolazione è facile, ma trovare la triangolazione con il numero minimo di tetraedri è NP-difficile. [Alexander Below, Jesús de Loera e Jürgen Richter-Gebert. La complessità di trovare piccole triangolazioni di 3 polipropilene convessi . J. Algorithms 2004.]

— Jeffε
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Grazie per i suggerimenti, Jeff. In particolare, penso che l'ultimo risultato che menzioni sia interessante. È un po 'sorprendente che mentre si è sul piano, il numero di simpliconi che compongono il poligono sia una costante, ma questo non vale più per dimensioni superiori ed è in effetti difficile da ottimizzare. Questo è esattamente il tipo di risposta che speravo.

— Bob Fraser

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Il problema realizzabilità per politopi -dimensionale è un candidato. Quando , è risolvibile nel tempo polinomiale (secondo il teorema di Steinitz ), ma quando , questo è NP-difficile. Per ulteriori informazioni, consultare "Gli spazi di realizzazione di 4 polipropi sono universali " di Richter-Gebert e Ziegler (esiste anche una versione arxiv ) e il libro " Lectures on Polytopes " (2a stampa) di Ziegler. $d$ $d \le 3$ $d \ge 4$

— Yoshio Okamoto
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Più specificamente che dire che è NP-difficile, è completo per

, la teoria esistenziale dei numeri reali.

\exists R

$\exists\mathbb{R}$

— David Eppstein,

Non avevo mai visto questo problema prima, grazie.

— Bob Fraser

Ancora una volta, come la risposta di David Eppstein, più difficile (probabilmente) di NP-complete.

— Peter Shor,

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Decidere se uno spazio metrico è isometricamente integrabile in R ^ 2 è facile. Tuttavia, è NP-difficile decidere per l'incorporabilità di R ^ 3.

L'incorporamento in è semplice, l'incorporamento in è NP-completo. Jeff Edmonds. SODA 2007 $\ell_\infty^2$ $\ell_\infty^3$

Carta

— Zouzias
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Questo è anche un buon esempio.

— Suresh Venkat,

-2

Questa risposta non risponde esattamente alla tua domanda, ma ha alcuni legami più piccoli. Invece di rispondere per e , ti mostro che questo esiste in e . $R^2$ $R^3$ $Z^2$ $Z^3$

$k = 2$ $Z^2$ $Z^k$ $k > 2$ .

— Kaushik Shankar
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cosa vuol dire che 2SAT è "in" R ^ 2?

— Suresh Venkat,

R^{2}

$R^2$

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-1: Non vedo come 2SAT sia in R ^ 2. Non vedo come 2SAT sia un "problema geometrico".

— Robin Kothari

Mi scuso per non aver presentato un problema geometrico, ma sebbene il titolo richieda problemi geometrici, le due domande all'interno dei commenti non specificano che sia geometrico. Inoltre, la soddisfazione 2 ha una rappresentazione grafica nota come corrispondenza bidimensionale, ovvero in P, dove la soddisfazione 3 corrisponde a corrispondenza tridimensionale, che è NP.

— Kaushik Shankar

@Robin Sono andato avanti e chiarito nel mio commento originale.

— Kaushik Shankar