Questa lingua è riconoscibile da una TM a 3 simboli in O (n log n)?

Stavo giocando con l'interessantissima e ancora aperta domanda " Alphabet of single-tape Turing machine " (di Emanuele Viola) e mi è venuta in mente la seguente lingua:

$L = \{ x \in \{0,1\}^n \text{ s.t. } |x| = n = 2^m \text{ and } count1(x) = k * m; \; n,m,k \geq 1 \}$

dove è il numero di s nella stringa x. $count1(x)$ $1$

Ad esempio, se x = 01101111, allora n = 8, m = 3, k = 2; così $x \in L$

L può essere riconosciuto da una macchina di Turing con un singolo nastro e un alfabeto di 3 simboli nei passaggi ? $\{ \epsilon, 0, 1 \}$ $O(n \log{n})$

Se utilizziamo 4 simboli la risposta è sì:

controlla se sostituendo s con e s con e allo stesso tempo memorizza s a destra; $|x|=2^m$ $0$ $\epsilon$ $1$ $2$ $m$ $1$
quindi contare il numero di s modulo in . $2$ $m$ $O(n \log{n})$

Per esempio:

....01101111....... input x  (|x| = 8 = 2^3)
000.021.1212.0001.. div 2, first sweep (000. can safely be used as a delimiter)
000.022.1222.00011. div 2, second sweep
000.022.2222.000111 div 2, third sweep --> m = 3 (= log(n) )
000..22.2222....111 cleanup (original 1s are preserved as 2)
000..22.2221102.... start modulo m=3 calculation
000..22.2210022.... mod 3 = 2
000..22.2000222.... mod 3 = 0
000..22.0012222.... mod 3 = 1
000..20112.2222.... mod 3 = 2
000..11122.2222.... ACCEPT

cc.complexity-theory turing-machines time-complexity

— Marzio De Biasi
fonte

è il numero naturale rappresentato da

è sempre uguale a

e quindi

| x | = n = 2^{m}

$\vert x \vert = n = 2^m$

x

$x$

c o u n t 1 (x)

$count1(x)$

1

$1$

L = {10}

$L = \lbrace 10 \rbrace$

— Marc Bury,

Spiacente | x | indica la lunghezza della stringa x. Un esempio: x = 01101111, n = 8, m = 3, k = 2, e quindi

x \in L

$x \in L$

— Marzio De Biasi

A proposito, questo è un ottimo candidato per la domanda di Emanuele, poiché è in

: non è regolare dal lemma di pompaggio, quindi non può essere

, ma è

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Joshua Grochow,

Non puoi usare la stessa idea di quello che hai per il caso di 4 simboli , con le seguenti modifiche:

Elaborare sempre una coppia di simboli contemporaneamente.
Negli sweep "div 2", contrassegnare un blocco di due simboli come "elaborato" mappando . Hai ancora disponibile come "separatore" che puoi utilizzare ad entrambe le estremità e puoi recuperare facilmente i dati originali. $(00, 01, 10, 11) \mapsto (\epsilon0, \epsilon1, 0\epsilon, 1\epsilon)$ $\epsilon\epsilon$
Usa un trucco simile per i passaggi "mod 2".

In generale, è possibile spremere una quantità arbitrariamente grande di informazioni contabili con l'aiuto del terzo simbolo elaborando i simboli alla volta. $O(1)$

— Jukka Suomela
fonte

Hai ragione! ... ora sospetto che la risposta alla domanda di Emanuele sia sì ... ma è ancora aperta, quindi probabilmente non è troppo facile dimostrarlo formalmente :-( Grazie!

— Marzio De Biasi