Prove che la moltiplicazione di matrici può essere fatta in tempi quadratici?

È ampiamente ipotizzato che , l'esponente ottimale per la moltiplicazione di matrici, sia in effetti uguale a 2. La mia domanda è semplice:$\omega$

Quali ragioni abbiamo per credere che ?$\omega = 2$

Sono a conoscenza di algoritmi veloci come Coppersmith-Winograd, ma non so perché possano essere considerati prove di .$\omega = 2$

Ingenuamente, mi sembra un classico esempio in cui una comunità spera solo che un risultato sia vero puramente per ragioni estetiche. Mi piacerebbe sapere se questo è essenzialmente il caso qui.

Vorrei aggiungere il commento di Mark Reitblatt e la risposta di Amir Shpilka. In primo luogo, una delle congetture avanzate da Cohn, Kleinberg, Szegedy e Umans non è teorica di gruppo ma è puramente combinatoria (Conj. 3.4 nel loro documento FOCS '05 ). Questa congettura afferma che "la forte capacità USP è ". Coppersmith e Winograd, mostrando il loro algoritmo attualmente migliore per la moltiplicazione di matrici, hanno mostrato che la capacità USP è lo stesso numero (anche se non l'hanno definita in questo modo). Sebbene ci sia una differenza tra forti USP e USP, questa è una prova che la loro congettura è almeno plausibile.$\frac{3}{2^{2/3}}$$\frac{3}{2^{2/3}}$

(Per l'altra loro congettura 4.7, che è teorica di gruppo, non conosco alcuna prova simile di plausibilità, al di là della semplice intuizione.)

In secondo luogo, concordo con Amir Shpilka sul fatto che la serie di algoritmi passati abbia un aspetto un po 'ad hoc. Tuttavia, una delle cose belle dell'approccio teorico di gruppo è che quasi tutti (non del tutto) gli algoritmi precedenti possono essere formulati in questo approccio. Sebbene le varie costruzioni teoriche di gruppo in [CKSU] possano sembrare un po 'ad-hoc all'esterno, nel contesto del quadro di teoria dei gruppi sembrano significativamente più naturali e meno ad-hoc (almeno per me) rispetto a molte delle gli algoritmi precedenti.

Non conosco gli altri ma posso dirti perché tendo a credere che . Quando leggi la storia e lo sviluppo di algoritmi di moltiplicazione a matrice rapida, penso che sia difficile non avere la sensazione che tutto ciò di cui abbiamo bisogno sia solo un algoritmo di base leggermente migliore dal quale, anche usando tecniche note, seguirà . Fondamentalmente, tutti gli algoritmi oggi (compresi quelli teorici di gruppo) iniziano con una costruzione "semplice" che viene poi amplificata. Queste costruzioni sono intelligenti ma danno al lettore una sorta di sensazione "ad hoc". Non vedo un motivo per credere che non possiamo escogitare migliori costruzioni semplici.$\omega=2$$\omega=2$

C'è un'analogia che uso per giustificare la congettura che a me stesso. Mi rendo conto che questo è piuttosto euristico, ma tuttavia mi ha servito bene, ad esempio, nel comprendere alcune delle intuizioni alla base di Cohn et al. carta.$\omega = 2$

Convoluzione e moltiplicazione della matrice sono analoghi. Se e sono matrici -by- e , allora . Se e sono vettori di lunghezza e , allora . In entrambi i casi, il risultato finale è un vettore costituito da somme di prodotti, ma la struttura relazionale nei dati di input è diversa. Per convoluzione, possiamo usare la FFT per calcolare la risposta in tempo invece della banale . Analogamente, ci si potrebbe aspettare un$A$$B$$n$$n$$C = AB$$C(i,j) = \sum_{k=1}^n A(i,k) B(k,j)$$A$$B$$n$$C = A*B$$C(i) = \sum_{k=1}^n A(k)B(i-k)$$\tilde{O}(n)$$O(n^2)$$\tilde{O}(n^2)$ algoritmo temporale per la moltiplicazione di matrici. La domanda è: qual è l'analogo della trasformata di Fourier che può aiutare a moltiplicare la matrice?

Più probabile che sia . Avere sembra fantasioso poiché la contabilità a fattore costante non sembra che possa ridimensionarsi.$O(n^{2} log(n^2))$$\omega = 2$