Quali sono le differenze tra relazioni logiche e simulazioni?

Sono un principiante che lavora su metodi che dimostrano l'equivalenza del programma. Ho letto alcuni articoli sulla definizione di relazioni logiche o simulazioni per dimostrare che due programmi sono equivalenti. Ma sono abbastanza confuso su queste due tecniche.

So solo che le relazioni logiche sono definite induttivamente mentre le simulazioni si basano sulla coinduzione. Perché sono definiti in questi modi? Quali sono rispettivamente i loro pro e contro? Quale dovrei scegliere in diverse situazioni?

Ho una risposta a questa domanda che è forse romanzo. In effetti, ci sto ancora riflettendo negli ultimi 6 mesi o giù di lì, e non è ancora stato scritto sui giornali.

La tesi generale è che principi di ragionamento relazionale come "relazioni logiche", "simulazioni" e persino "invarianti" sono manifestazioni di astrazione di dati o occultamento di informazioni. Ovunque vi siano informazioni nascoste, questi principi emergono.

Le prime persone a scoprirlo furono i teorici degli automi. Gli automi hanno uno stato nascosto. Quindi hai bisogno di un ragionamento relazionale per parlare della loro equivalenza. I teorici degli automi hanno lottato con gli omomorfismi per un po ', hanno rinunciato e hanno escogitato una nozione chiamata "copertura relazionale", che è una forma di relazioni di simulazione.

Milner raccolse l'idea in un articolo poco conosciuto ma fondamentale chiamato " Un'idea algebrica di simulazione tra programmi " nel 1971. Hoare lo conosceva e lo usò per inventare " Prova della correttezza delle rappresentazioni dei dati " nel 1972 (ma usato l'astrazione funziona invece delle relazioni perché pensava che fossero "più semplici"). In seguito ha ritirato la richiesta di semplicità e è tornato a utilizzare le relazioni in " Affinamento dei dati perfezionato ". Reynolds ha usato il ragionamento relazionale in " Craft of Programming", Capitolo 5 (1981). Pensava che le relazioni fossero più naturali e generali delle funzioni di astrazione. Se torni a leggere questo capitolo, troverai idee di parametricità relazionale in agguato, in attesa di essere scoperte. Certo, due anni dopo, Reynolds ha pubblicato "Tipi, astrazione e polimorfismo parametrico" (1983).

Sembra che tutte queste idee non abbiano nulla a che fare con i tipi, ma lo fanno davvero. I linguaggi e i modelli con stato hanno l'astrazione dei dati integrata . Non è necessario definire un "tipo di dati astratto" per nascondere le informazioni. Devi solo dichiarare una variabile locale e nasconderla. Possiamo insegnarlo agli studenti del primo anno nelle lezioni di Java nelle prime settimane. Niente sudore.

$\forall$$\exists$

$M$$M'$$M$$M'$$X$$X'$$R$$F(X)$$F(X')$$F(R)$

Quindi, simulazioni e parametricità relazionale sono essenzialmente la stessa idea . Non è semplicemente una somiglianza superficiale. Il primo è progettato per linguaggi con stato in cui è presente l'astrazione dei dati integrata. Quest'ultimo è realizzato per linguaggi senza stato in cui l'astrazione dei dati è ottenuta tramite variabili di tipo.

Che dire delle relazioni logiche allora? In apparenza, le relazioni logiche sembrano essere un'idea più generale. Mentre la parametricità parla di come mettere in relazione le variabili di tipo all'interno dello stesso modello, le relazioni logiche sembrano mettere in relazione i tipi tra modelli diversi. (Dave Clarke ha scritto una brillante esposizione di questo in precedenza.) Ma la mia sensazione è (e deve ancora essere dimostrata) che questo è un esempio di qualche forma di parametricità di tipo superiore che non è stata ancora formulata. Resta sintonizzato per ulteriori progressi su questo fronte.

[Nota aggiunta] La connessione tra relazioni logiche e simulazioni è discussa nel nostro recente articolo Relazioni logiche e parametria: un programma Reynolds per la teoria delle categorie e i linguaggi di programmazione .

Una delle differenze chiave è che le relazioni logiche vengono utilizzate come tecnica per mostrare che una classe di programmi (ad esempio, input per un compilatore) corrisponde a un'altra classe di programmi (ad esempio, l'output del compilatore), mentre vengono utilizzate le relazioni di simulazione per mostrare la corrispondenza tra due programmi.

La somiglianza tra le due nozioni è che entrambe definiscono una relazione utilizzata per mostrare la corrispondenza tra due entità diverse. In un certo senso, si può pensare a una relazione logica come una relazione di simulazione definita induttivamente sulla sintassi dei tipi. Ma esistono diversi tipi di relazioni di simulazione.

Le relazioni logiche possono essere utilizzate per mostrare la corrispondenza tra una lingua come ML e la sua traduzione in linguaggio assembly, come nel documento che leggi. Una relazione logica viene definita induttivamente sulla struttura del tipo. Una relazione logica fornisce un mezzo compositivo per mostrare, ad esempio, che una traduzione è corretta, mostrando che la traduzione è corretta per ciascun costruttore di tipi. Ai tipi di funzione la condizione della condizione di correttezza direbbe qualcosa del genere, la traduzione di questa funzione richiede input ben tradotti in output ben tradotti.

Le relazioni logiche sono una tecnica versatile per i linguaggi basata sul calcolo lambda. Altre applicazioni delle relazioni logiche includono (da qui ): caratterizzare la definibilità lambda, correlare definizioni semantiche denotazionali, caratterizzare il polimorfismo parametrico, modellare l'interpretazione astratta, verificare rappresentazioni di dati, definire semantica completamente astratta e modellare lo stato locale in linguaggi di ordine superiore.

Le relazioni di simulazione sono generalmente utilizzate per mostrare l'equivalenza di due programmi. In genere tali programmi producono un certo tipo di osservazione, come l'invio di messaggi sui canali. Un programma P simula un altro Q se P può fare tutto ciò che Q può fare, anche se forse di più.

La bisimulazione, approssimativamente, è due relazioni di simulazione messe insieme. Dimostri che il programma P e simula il programma Q e che il programma Q può simulare il programma P e hai una bisimulazione, sebbene generalmente siano presenti condizioni aggiuntive. La voce di Wikipedia sulla bisimulazione è un buon punto di partenza (più preciso). Esistono migliaia di varianti dell'idea, ma è un'idea fondamentale che è stata reinventata più o meno nella stessa forma di informatica, logica modale e teoria dei modelli. L' articolo di Sangiorgi offre una meravigliosa storia dell'idea.

Un documento che stabilisce una relazione tra le due nozioni è una nota sulle relazioni logiche tra semantica e sintassi di Andy Pitts che utilizza relazioni logiche, in definitiva una nozione semantica definita sintatticamente, per dimostrare una certa proprietà sulla bisimulazione applicativa , che è una nozione puramente sintattica.

I due tipi di relazioni sembrano essere utilizzati in contesti diversi. Simulazioni logiche per linguaggi tipizzati e relazioni di simulazione quando si tratta di calcoli di processo o logiche modali interpretate su sistemi di transizione. Dave Clarke ha fornito molte spiegazioni intuitive, quindi aggiungerò solo alcuni suggerimenti che potrebbero aiutare.

Si è lavorato per caratterizzare entrambe le nozioni usando l'interpretazione astratta. Potrebbe non essere quello che vuoi, ma almeno entrambe le nozioni sono trattate nello stesso quadro matematico.

Samson Abramsky ha usato le relazioni logiche per dimostrare la solidità e la conclusione dell'analisi di rigidezza per il pigro calcolo Lambda ( interpretazione astratta, relazioni logiche ed estensioni Kan ). Ha anche mostrato che le relazioni logiche definiscono le funzioni di astrazione nel senso di interpretazione astratta della connessione di Galois. Più recentemente, Backhouse e Backhouse hanno mostrato come costruire connessioni Galois per tipi di ordine superiore da connessioni Galois per tipi di base e che queste costruzioni possono essere descritte in modo equivalente usando relazioni logiche ( Relazioni logiche e Connessioni Galois ). Pertanto, nel contesto specifico dei linguaggi funzionali tipizzati, le due nozioni sono equivalenti.

Le relazioni di simulazione caratterizzano la conservazione delle proprietà tra le strutture di Kripke per varie logiche modali e temporali. Invece dei tipi, abbiamo modalità in una logica. Le relazioni di simulazione definiscono anche le connessioni di Galois e quindi le astrazioni. Si può chiedere se queste astrazioni hanno proprietà speciali. La risposta è che le astrazioni standard sono solide e le astrazioni basate sulla relazione di simulazione sono complete. La nozione di completezza riguarda le connessioni di Galois, che potrebbero non concordare con quelle interpretazioni intuitive. Questa linea di lavoro è stata sviluppata da David Schmidt ( Relazioni binarie di conservazione delle strutture per l'astrazione del programma ) e da Francesco Ranzato e Francesco Tapparo ( Preservazione forte generalizzata di interpretazione astratta ).

Direi che i due concetti sono piuttosto vaghi. Entrambi riguardano relazioni binarie di meccanismi computazionali che in qualche modo incarnano una nozione di uguaglianza. Le relazioni logiche sono definite dall'induzione della struttura del tipo, mentre le simulazioni possono essere definite come desiderato, ma il termine allude alla coinduzione.

$\pi$