Si può amplificare P = NP oltre P = PH?

Nella complessità descrittiva , Immerman ha

Corollario 7.23. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
1. P = NP.
2. Strutture finite e ordinate, FO (LFP) = SO.

Questo può essere pensato come "amplificazione" di P = NP a un'istruzione equivalente su (presumibilmente) classi di complessità più grandi. Notare che SO acquisisce la gerarchia del tempo polinomiale PH e che FO (LFP) acquisisce P, quindi questo può essere pensato come P = NP iff P = PH.

(La parte interessante di questo è l'affermazione che P = NP implica P = PH; è banale che P = CC implica P = NP per qualsiasi classe CC che contiene NP. Immerman osserva semplicemente "se P = NP allora PH = NP" , presumibilmente perché P = NP può essere usato con la definizione dell'oracolo di PH per mostrare induttivamente che l'intera gerarchia collassa.)

La mia domanda è:

Quanto ulteriormente P = NP può essere amplificato in questo modo?

In particolare, qual è la più grande classe nota CC 'tale che P = NP implica P = CC', e la più piccola classe CC tale che P = NP implica CC = NP? Ciò consentirebbe a P = NP di essere sostituito dalla domanda equivalente CC = CC '. P sembra essere una classe piuttosto potente, che sembra fornire un piccolo "spazio di manovra" per gli argomenti che cercano di separarla da NP: fino a che punto può essere amplificata la stanza di manovra?

Naturalmente sarei anche interessato a un argomento che dimostra che P = PH è il limite di questo approccio.

Modifica: annota la domanda strettamente correlata Perché P = NP non implica P = AP (cioè P = PSPACE)? che si concentra sull'altra direzione, perché non abbiamo prove che P = PSPACE. Le risposte di Kaveh e Peter Shor sostengono che il numero di alternanze da correggere è fondamentale. Un'altra domanda correlata è un problema decisionale che non è noto per essere in PH ma sarà in P se P = NP che richiede un problema candidato; le risposte lì possono anche essere usate per costruire risposte a questa domanda, sebbene queste classi siano in qualche modo artificiali (grazie a Tsuyoshi Ito per averlo sottolineato). In un'impostazione più generale, il collasso di macchine da banco limitate a tempo limitato e alternato chiede se un collasso locale a qualsiasi livello in una gerarchia di alternanza induca un collasso verso l'alto, come accade con la gerarchia del tempo polinomiale.

— András Salamon
fonte

Correlato (autopromozione spudorata): un problema decisionale che non è noto per essere in PH ma sarà in P se P = NP .

— Tsuyoshi Ito,

Come un modo di formalizzare ciò che le lingue sono in P se P = NP, Regan ha introdotto la classe di complessità H. Un linguaggio

è in H se e solo se L è in P

relativa ad ogni oracolo

in modo che P

= NP

. Pertanto,

è in H se l'istruzione P = NP

L

$L$

^{O}

$^O$

O

$O$

^{O}

$^O$

^{O}

$^O$

L

$L$

P relativizza. PH

Alternations-time

. Dal teorema di Toda e alcuni dei lemmi nel teorema di Toda, è anche vero che H

per ogni

. (Fondamentalmente, qualsiasi oracolo che soddisfa P

= NP

dà un nuovo limite superiore a H. È aperto se H = PH.)

⟹ L \in

$\implies L \in$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

(O (\log \log n), p o l y)

$(O(\log \log n), \rm{poly})$

\subseteq

$\subseteq$

^{{m o d}_{q} P}

$^{\rm{mod}_q \rm{P}}$

q

$q$

^{O}

$^O$

^{O}

$^O$

— Russell Impagliazzo

@Russell: grazie! Quel commento sembra una risposta.

— András Salamon,

Alla fine ho trovato un riferimento alla classe

di Ken Regan : vedi la definizione 6.3 di "Set di indici e presentazioni di classi di complessità", disponibile su: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.32.8927 . Versione ufficiale all'indirizzo: dx.doi.org/10.1016/0304-3975(95)00146-8

H

$H$

— Joshua Grochow

Sia f (n) qualsiasi funzione illimitata. H non è contenuto in Alternations-Time (f (n), poly) e se si potesse dimostrare P = NP implica P = Alternations-Time (f (n), poly) allora NP è diverso da L.

— Lance Fortnow

Risposte:

Dal commento di Russell Impagliazzo :

$\mathsf{P}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{H}$ $L$ $\mathsf{H}$ $L$ $\mathsf{P}^O$ $O$ $\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$ $L$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies L\in\mathsf{P}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{H} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\lg\lg n),\mathsf{poly})$ $\mathsf{H} \subseteq \mathsf{P}^{\mathsf{mod}_q \mathsf{P}}$ $q$ $\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{H}=\mathsf{PH}$

E dal commento di Lance Fortnow :

$f(n)$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{L}$

$\mathsf{H}$

Kenneth W. Regan, " Set di indici e presentazioni di classi di complessità ", 1999

— Kaveh
fonte

f (n) = \lg \lg n

$f(n) = \lg \lg n$

Sono confuso su qualcosa. Perché la risposta di Josh Grochow alla precedente domanda su questo argomento ( cstheory.stackexchange.com/a/2039/1575 ) non risponde essenzialmente anche alla domanda di Regan? Cioè, perché non fornisce un esempio di un linguaggio L che è in P se P = NP da un argomento relativizzante, ma che non è in PH se P! = NP? E perché non mostra quindi che se P! = NP, allora H è strettamente più grande di PH?

— Scott Aaronson,

In realtà, mi viene in mente una possibile risposta. Il problema è che, nella costruzione di Grochow, la definizione stessa della lingua L dipenderà dall'oracolo O?

— Scott Aaronson,

P^{O} = N P^{O}

$P^O = NP^O$

L

$L$

L

$L$

O

$O$

O

$O$

P^{O} \neq N P^{O}

$P^O \neq NP^O$

L

$L$

O

$O$

2^{Σ^{*}}

$2^{\Sigma^*}$

— Joshua Grochow,

$\Sigma^P_k$ $k$

$M$ $x$ $y$ $\mathsf{NP}$

$Cook(M, \vec{n}, t)$ $M$ $s(\vec{n},t) \in \mathsf{poly}$ $M$ $\vec{n}$ $t$

$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $A$ $p\in\mathsf{poly}$

$s_i$ $i$ $s_{i+1} = s\circ p(s_i)$ $k$ $q(n) = (s \circ p)^k(n)$ $n$ è la dimensione della formula TQBF fornita come input.

$k$ $q(n) \in \mathsf{poly}$ $\mathsf{P}$

$k \in \omega(1)$ $q(n)$ $n^{2^{O(k)}}$ $k = \lg \lg n$ $k = \lg n$

$C$

T ⊢ P = N P \to P = C

$T \vdash \mathsf{P} = \mathsf{NP} \to \mathsf{P}=C$

T

$T$

Z F C

$\mathsf{ZFC}$

P \neq N P

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

$C$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

$\mathsf{BPP} = \mathsf{PP}$ $\mathsf{IP} = \mathsf{PSpace}$

Trovo anche l'idea che esista un solo modo corretto di relativizzare una classe di complessità problematica che causa molte idee sbagliate (come pensare la relativizzazione come un'operazione funzionale su classi di complessità nel loro senso estensionale, una relativizzazione è una modifica di un modello di calcolo , non una classe di funzioni o lingue). Penso che vedere le relativizzazioni come strutture di calcolo modificate (interattive) sia più utile. In questo modo ci sono molti modi utili per relativizzare le classi di complessità (nel suo senso intenzionale). Per ottenere qualsiasi informazione sull'impostazione non relativizzata da un quadro relativizzato abbiamo bisogno di un qualche tipo di principio di trasferimento simile al principio di trasferimento nell'analisi non standard. Nota che scegliere un particolare metodo di relativizzazione per le classi che preservano le relazioni conosciute tra le classi non ci dà un principio di trasferimento (questo è il criterio principale comunemente usato in letteratura per decidere quale sia la "giusta" relativizzazione di una classe).

— Kaveh
fonte

Sono d'accordo con "vedere le relativizzazioni come quadri di calcolo interattivi è più utile secondo me" in un certo modo. Vale a dire che la presentazione delle relativizzazioni potrebbe essere resa più intuitiva da comprendere a partire dalla situazione in cui la macchina (e) (con accesso interattivo all'oracolo) viene data per prima, e un avversario è autorizzato a selezionare una lingua per l'oracolo. Quindi si passa alla situazione in cui viene dato per primo un linguaggio (complesso) dell'oracolo e le macchine possono ora essere adattate al mondo dato dall'oracolo specifico.

— Thomas Klimpel,