Costruzioni migliori di una casuale.

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Sono interessato ad esempi di costruzioni nella teoria della complessità che sono migliori di una costruzione casuale.

L'unico esempio di tale costruzione che conosco è nel campo dei codici di correzione degli errori. I codici di geometria algebrica sono migliori in alcuni intervalli di parametri rispetto ai codici casuali.

Si possono facilmente costruire esempi così artificiali. Sono interessato a esempi come i codici di geometria algebrica, in cui è facile realizzare una costruzione casuale e non è ovvio come fare meglio.

— Klim
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Questa domanda è orribilmente vaga. Per favore, per lo meno, indica di quale campo stai parlando.

— Dave Clarke,

Ho aggiunto il tag [big-list] e l'ho segnalato per l'attenzione del moderatore, chiedendo loro di trasformare questa domanda in un wiki della comunità.

— Tsuyoshi Ito,

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Mi piace la domanda, ma potremmo voler limitare l'ambito in qualche modo. È chiaro che cose come gruppi finiti, piani proiettivi, ecc., Se li parametrizzi nel modo giusto (numero di terzine che violano l'associatività, per esempio), avranno parametri molto migliori delle costruzioni casuali.

— Peter Shor,

Sono d'accordo che la domanda è vaga. Non so come limitare l'ambito. Eventuali suggerimenti sono ben accetti Il mio interesse è per gli esempi interessanti. Ad esempio, quando per lungo tempo la costruzione casuale è stata la migliore e per batterla sono necessarie idee non banali.

— Klim,

@Dave, non sono sicuro che questo debba essere un tag CW o [big-list], se una domanda è vaga dovremmo chiedere all'OP di chiarirla, nota che CW è irreversibile. IMHO, una domanda come questa può essere modificata in modo tale che debba essere una grande lista.

— Kaveh,

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I grafici Ramanujan hanno il secondo autovalore (con il grado del grafico), mentre i grafici casuali raggiungono solo whp In effetti, in generale abbiamo che , con la termine che va a con tenuto costante (come il numero di vertici ), quindi in un certo senso questi sono ottimali. $\lambda_2\leq \frac{2\sqrt{D-1}}{D}$ $D$ $\lambda_2\leq \frac{2\sqrt{D-1}}{D} + o(1)$ $\lambda_2\geq \frac{2\sqrt{D-1}}{D} - o(1)$ $o(1)$ $0$ $D$ $N\rightarrow \infty$

— alpoge
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Esiste la costruzione di Behrend di un ampio sottoinsieme di che non contiene tre elementi nella progressione aritmetica (abbreviato in 3AP). Un sottoinsieme casuale di di dimensione, ad esempio conterrà molte progressioni aritmetiche di lunghezza 3, ma Behrend costruisce un insieme di dimensioni privo di 3AP . $\{ 1,\ldots,N \}$ $\{ 1,\ldots,N\}$ $N^{0.9}$ $N^{1-o(1)}$

— Luca Trevisan
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Questo potrebbe non essere esattamente quello che stai cercando, ma Jeff Lagarias e io (successivamente migliorato da Mackey) abbiamo inventato i cubi di cubi di spazi ad alta dimensione che sono controesempi alla congettura di Keller , cioè i soffitti di dimensioni con cubi di unità dove non ci sono due i cubi si incontrano in una faccia tridimensionale completa ( ). Sembra improbabile che i massimali casuali forniranno controesempi. $n$ $n-1$

— Peter Shor
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In generale, le costruzioni casuali e le avide costruzioni raggiungono gli stessi limiti (ad es. Codici di correzione degli errori). Una volta ho sentito un discorso di Lovasz in cui diceva che scelte avide e scelte casuali sono essenzialmente le stesse. Quindi, qualsiasi costruzione che superi la costruzione avida dovrebbe fornire una risposta alla tua domanda. A titolo di esempio, la costruzione che raggiunge la capacità di Sperner dei grafici è di questo tipo. Come ha detto Peter Shor, ci sono davvero molti esempi di combinatoria estrema.

— Ugo
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