Quali sono le difficoltà di fondo nel passare dai grafici agli ipergrafi?

Ci sono molti esempi di combinatoria e informatica in cui possiamo analizzare un problema teorico-grafico ma per l'analogo dell'ipermetrografo del problema mancano i nostri strumenti. Perché pensi che i problemi spesso diventino molto più difficili con gli ipergrafi a 3 uniformi rispetto ai grafici con oltre 2 uniformi? Quali sono le difficoltà alla radice?

Un problema è che non abbiamo ancora una comprensione soddisfacente della teoria dell'ipergrafo spettrale. Non esitate a far luce su questo problema. Ma sto anche cercando altri motivi che rendono gli ipergrafi oggetti più difficili.

In questa domanda capisco che "difficoltà" non si riferisce a "difficile da calcolare", ma a "difficile da studiare".

I problemi dei grafici sono più facili (almeno per me) da studiare poiché alcuni concetti sembrano equivalenti. In altre parole, se si desidera generalizzare le domande per i grafici a quelle per gli ipergrafi, è necessario prestare attenzione alla "giusta" generalizzazione in modo da ottenere le conseguenze desiderate.

Ad esempio, considera un albero. Per i grafici, un grafico è un albero se è collegato e non contiene alcun ciclo. Ciò equivale ad essere connessi e avere n-1 bordi (dove n è il numero di vertici), e anche equivalente a non contenere alcun ciclo e avere n-1 bordi. Tuttavia, per gli ipergrafi a 3 uniformi, supponiamo che un ipergrafo a 3 uniformi sia un albero se è collegato e non contiene alcun ciclo. Ma questo non equivale a essere connessi e avere n-1 iperedges, né a contenere nessun ciclo e avere n-1 hyperedges.

Ho sentito una difficoltà principale per dimostrare che il lemma della regolarità per gli ipergrafi uniformi è stato quello di trovare le giuste definizioni di regolarità e concetti correlati.

Quando si desidera considerare la "teoria dell'ipergrafo spettrale", si può provare a esaminare i tensori o l'omologia se si vede un ipergrafo k-uniforme come un complesso simpliciale dimensionale (k-1), da cui nasce naturalmente l'algebra lineare. Non so quale sia la generalizzazione "giusta" per il tuo scopo, o è possibile che nessuno dei due sia giusto.

Penso che ciò sia in gran parte dovuto al "potere mistico della twoness" di Lawler (l'osservazione che molti problemi con parametri sono in P per param = 2 e NP-completi per param≥3). Un grafico è una cosa che collega 2 tuple di vertici e un ipergrafo è una cosa che collega k-tuple di vertici per k≥3.

Quindi, ad esempio, 2-SAT è in P ed è essenzialmente un problema di grafico, mentre 3-SAT è un problema su ipergrafi a 3 uniformi ed è NP-completo.

Un altro motivo sarebbe che abbiamo molta più conoscenza delle relazioni binarie rispetto a qualsiasi altra relazione n-ary per n maggiore di 2.

Naturalmente consideriamo le relazioni binarie tra oggetti, come adiacenza, intersezione non vuota, equivalenza, ecc. Quindi possiamo definire grafici in termini di relazioni binarie e persino definire un grafico basato su una relazione binaria su un altro grafico. (Ad esempio, grafici a linee, alberi di cricche, decomposizioni di alberi ...)

Ma per quanto riguarda le altre relazioni n-ary, non abbiamo molta comprensione. Ad esempio, ci vuole del tempo per elaborare un'interessante relazione ternaria; (Va bene, in parte a causa della mia ignoranza) le proprietà sono più deboli e gli strumenti sono molto inferiori nello studio delle relazioni ternarie. (Come definiamo le relazioni ternarie simmetriche o transitive ? Entrambe sono tra le relazioni più importanti che si possono studiare.)

Ma ancora non so perché questo avvenga tra relazioni binarie e ternarie. Forse come ha detto il turco questa domanda è difficile e potrebbe essere correlata alla comprensione del problema P / NP.

Per prima cosa avrei risposto alla domanda sbagliata: "quale esempio di problemi è molto più difficile negli ipergrafi che nei grafici". Sono stato particolarmente colpito dalla differenza nel trattare il massimo problema di corrispondenza nei grafici e lo stesso con gli ipergrafi (un insieme di bordi disgiunti a coppie), che possono facilmente modellare la colorazione, il massimo set indipendente, il massimo cricco ...

Poi ho notato che non era la tua domanda: "quali sono le difficoltà alla radice tra i due?".

Bene, a quello avrei risposto che fino ad ora non ho visto molti punti comuni tra grafici e ipergrafi. Tranne il nome stesso. E il fatto che molte persone stiano cercando di "estendere" i risultati dal primo all'altro.

Ho avuto l'occasione di sfogliare le pagine degli "Ipergrafi" di Berge e dei "Sistemi di set" di Bollobas: contengono molti risultati gustosi e quelli che ho trovato il più interessante avevano pochi da dire sui grafici. Ad esempio il teorema di Baranyai (c'è una bella dimostrazione nel libro di Jukna).

Non ne conosco molto, ma sto pensando a un problema di ipergrafo in questo momento e tutto ciò che posso dire è che non sento alcun grafico in agguato da nessuna parte. Forse li consideriamo "difficili" perché stiamo solo cercando di studiarli con gli strumenti sbagliati. Non mi aspetto che i problemi con i grafici su cui sto lavorando svaniscano immediatamente usando la teoria dei numeri (anche se a volte succede).

Oh, e qualcos'altro. Sono forse più difficili da studiare perché sono combinatori molto ... altro ?!

"provali tutti e vedi quando funziona" a volte è una buona idea per i grafici, ma con gli ipergrafi ne viene rapidamente umiliato dai numeri. :-)