Congetture implicanti il ​​teorema dei quattro colori

Il Teorema dei quattro colori (4CT) afferma che ogni grafico planare è quattro colorabile. Ci sono due prove fornite da [Appel, Haken 1976] e [Robertson, Sanders, Seymour, Thomas 1997]. Entrambe queste prove sono assistite da computer e piuttosto intimidatorie.

Ci sono diverse congetture nella teoria dei grafi che implicano 4CT. La risoluzione di queste congetture probabilmente richiede una migliore comprensione delle prove di 4CT. Ecco una di queste congetture:

Congettura : Sia un grafico planare, sia C un insieme di colori e f : C → C un'involuzione libera in virgola fissa. Sia L = ( L v : v ∈ V ( G ) ) tale che$G$$C$$f : C \rightarrow C$$L = (L_v : v \in V(G))$

• per tutti v ∈ V e$|L_v| \geq 4$$v \in V$
• se quindi f ( α ) ∈ L v per tutti v ∈ V , per tutti α ∈ C .$\alpha \in L_v$$f(\alpha) \in L_v$$v \in V$$\alpha \in C$

Allora esiste un -coloring del grafico G .$L$$G$

Se conosci tali congetture che implicano 4CT, elencale una per ogni risposta. Non sono riuscito a trovare un elenco completo di tali congetture.

4CT equivale a:

• Colorare un ipergrafo indotto da una famiglia finita di dischi (non necessariamente disgiunti all'interno ma anche dischi che potrebbero avere sovrapposizioni arbitrarie) con al massimo quattro colori .$[1]$
• L'idea che ogni triangolazione planare con più di tre vertici sia l'unione di due grafici bipartiti collegati, ciascuno senza istmo .$[2]$
• Un problema combinatorio sull'algebra del prodotto trasversale tridimensionale vettoriale .$[3]$
• L'affermazione secondo cui la grammatica G è totalmente ambigua .$[4]$
• Per qualsiasi numero intero positivo , esiste almeno un percorso segnabile che unisce due permutazioni di S n .$n$$S_n$

• Viene presentato un equivalente algebrico del teorema a quattro colori. L'equivalente è l'affermazione di non appartenenza a una famiglia di polinomi in una famiglia di ideali polinomiali su un particolare campo finito .$[6]$

  1. Smorodinsky S. Sul numero cromatico di ipergrafi geometrici .
  2. Grafici bipartiti di Mabry R. e teorema dei quattro colori .
  3. Kauffman LH Colorazione della mappa e prodotto incrociato vettoriale .
  4. Cooper BJ et al. Verso una dimostrazione teorica del linguaggio del teorema dei quattro colori .
  5. Eliahou S. et al. Permutazioni firmate e teorema dei quattro colori .
  6. Howard L. Una riformulazione algebrica del teorema dei quattro colori .

Un'altra verifica meccanica del teorema dei 4 colori è stata fatta da George Gonthier alla Microsoft Research Cambridge. La differenza con la sua dimostrazione è che l'intero teorema è stato dichiarato e verificato meccanicamente usando l'Assistente prove Coq, mentre le altre prove contengono solo il calcolo del kernel scritto in Assembly Language e C, e quindi hanno il rischio di essere errate. La dimostrazione di Gonthier copre sia gli aspetti calcolatori che quelli logici in sole 60.000 righe di Coq.

Ne ho parlato sul mio blog e la nostra intuizione è: ad esempio la condizione di Tait può essere indebolita in quanto esiste una colorazione che presenta al massimo o (n) errori. Vedi qui: http://rjlipton.wordpress.com/2009/04/24/the-four-color-theorem/

Guarda T. Saaty, Tredici variazioni colorate sulla congettura di 4 colori di Guthrie, American Math. Mensile, 79 (1972) 2-43 per molti esempi.

Inoltre, nel libro di David Barnette Map Coloring, Polyhedra, and the Four-Color Problem, MAA, Dolciani Series, Volume 8, 1983, vengono forniti molti esempi. Un risultato particolarmente interessante nel libro di Barnete è: se è sempre possibile troncare i vertici di un poliedro convesso in modo da produrre un poliedro convesso a 3 valori in modo che il numero di lati di ciascuna faccia sia un multiplo di tre, implica che il verità della congettura dei quattro colori.

La congettura di Hadwiger .

Nel documento Absolute Planar Retracts e nella Four Color Conjecture , Pavol Hell ha dimostrato diverse formulazioni equivalenti per la 4CT. Uno di questi recita come segue:

Ogni grafico planare è a 4 colori (Il 4CT) se esiste un ritiro planare assoluto.

(Un sottografo di un grafico G è un retratto di G se esiste un omomorfismo r : V ( G ) → V ( H ) tale che r ( v ) = v per tutto v ∈ V ( H ) . Un retrattile planare assoluto è un grafico planare che è una retrazione di qualsiasi grafico planare di cui è un sottografo.)$H$$G$$G$$r: V(G)\to V(H)$$r(v)=v$$v\in V(H)$

Ogni grafico planare cubico senza ponte è a 3 bordi colorabile. (Ciò equivale a 4CT, a causa di Tait.)

L'articolo di Dror Bar-Natan "Lie Algebras and the Four Color Theorem" (Combinatorica 17-1 (1997) 43-52, ultimo aggiornamento ottobre 1999, arXiv: q-alg / 9606016 ) contiene un'affascinante dichiarazione sulle algebre di Lie che è equivalente a il teorema dei quattro colori. Le nozioni che compaiono nell'affermazione compaiono anche nella teoria degli invarianti di nodi di tipo finito (invarianti di Vassiliev) e delle 3-varietà.

La proposta 2.4 in questo documento http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9500109A# fornisce un'altra formulazione per il 4CT.

$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$\Delta(G)$

$G$$K(G)$$G$$K(G)$$G$
$G$$K(G)$

La descrizione di alto livello della prova automatizzata di Gonthier merita di essere letta, se stai cercando maggiori informazioni.

Yuri Matiyasevich ha studiato diverse riaffermazioni probabilistiche del teorema dei quattro colori, implicando correlazioni positive tra due nozioni di somiglianza tra coloranti. Le sue prove di equivalenza si basano su un polinomio grafico associato, che fornisce un altro probabile indicatore di congetture che implicano il teorema.

• Georges Gonthier, Dimostrazione formale: il teorema dei quattro colori , comunicazioni dell'American Mathematical Society 55 (11) 1382-1393, 2008.
• Yuri Matiyasevich, Un equivalente probabilistico della congettura dei quattro colori , traduzione di carta in Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya 48 411–416, 2003.
• Yuri Matiyasevich, Alcune riaffermazioni probabilistiche della congettura dei quattro colori , Journal of Graph Theory 46 167-179, 2004. ( prestampa )

Ho appena letto in un articolo di Chalopin e Gonçalves (STOC '09) la seguente congettura di West:

Ogni grafico planare è il grafico di intersezione dei segmenti nel piano usando solo quattro direzioni.

Poiché i segmenti paralleli formano un insieme indipendente in tale rappresentazione, questa congettura implica il 4CT, ma forse è ancora più forte.

Il riferimento: ovest, problemi aperti . SIAM J Discrete Math Newsletter, 2 (1): 10-12, 1991.

Uno snark è un grafico cubico collegato, senza ponte, che non può essere colorato in 3 spigoli. A seguito di Wikipedia, la congettura di Snark, generalizzando il 4CT, è la seguente:

Ogni snark ha un sottografo che può essere formato dal grafico di Petersen suddividendo alcuni dei suoi bordi.

Sempre secondo Wikipedia, una prova di questa congettura è stata annunciata nel 2001 da Robertson, Sanders, Seymour e Thomas.

"L'etichettatura facciale dei grafici planari massimi" è il titolo del mio vecchio documento che è stato pubblicato di recente in cui ho trasformato 4 colorazioni dei grafici planari massimi in coerenza con l'etichettatura dei volti. Il link al documento è http://www.math.nsysu.edu.tw/~amen/2011/091021-3.pdf

Come

LH Kauffman, Riformulazione del teorema del colore della mappa , Discrete Mathematics 302 (2005) 145-172

sottolinea, il Principio di primalità dovuto a G. Spencer-Brown e la congettura di Eliahou – Kryuchkov sono equivalenti riformulazioni della FCT.

• S. Eliahou, Flip diagonali firmati e teorema dei quattro colori, europeo J. Combin. 20 (1999) 641–646.
• SI Kryuchkov, Il teorema dei quattro colori e alberi, IV Kruchatov, Institute of Atomic Energy, Mosca, 1992, IAE-5537/1.
• G. Spencer-Brown, Laws of Form, Gesetze der Form, Bohmeier Verlag, 1997.

L'articolo di Garry Bowlin e Matthew G. Brin "Colorare i grafici planari tramite i percorsi colorati nell'Associaedra", rivisto l'ultima volta il 12 maggio 2013, arXiv: 1301.3984 math.CO contiene la seguente congettura a pagina 26:

Congettura 6.4. Per ogni coppia di alberi binari e finiti (D, R) con lo stesso numero di foglie, c'è un'assegnazione di segno di D e una parola w di simboli di rotazione validi per D in modo che Dw = R.

Si afferma che la congettura 6.4 che segue da proposizioni e teoremi precedenti nel documento è equivalente a 4CT.

Un k -flow su un grafico non orientato G è un grafico diretto derivato sostituendo ogni arco in G con un arco e assegnandogli un numero intero tra -k e k , esclusivo, tale che, per ciascun vertice in G, la somma degli interi assegnato agli archi che puntano in quel vertice è uguale alla somma degli interi assegnati agli archi che indicano. Un k -flow NWZ (da nessuna parte zero) è un k -flow in cui a nessun arco è stato assegnato il numero 0.

Per qualsiasi grafico planare G , il doppio di G è il grafico che contiene un vertice per ogni faccia in un incorporamento planare di G , e due vertici in una doppia condivisione un bordo collegandoli per ogni bordo che le facce corrispondenti in G condividono tra loro nei loro confini. Secondo il Teorema della dualità del flusso-colorazione di Tutte, un grafico planare senza istmo (ovvero bordo la cui eliminazione aumenterebbe il numero di componenti) ha un flusso K NWZ se e solo se il suo doppio è colorabile k . In altre parole, un grafico planare è a 4 colori se e solo se il suo doppio ha un flusso a 4 NWZ.

Si noti che 4CT richiede che il grafico planare in questione non abbia anelli (i bordi che collegano qualsiasi vertice a se stesso) perché qualsiasi grafico con un ciclo non può essere colorato di vertice con alcun set di colori, poiché qualsiasi vertice con un ciclo sarebbe quindi adiacente a un vertice dello stesso colore, indipendentemente dal suo colore.

Ci sto lavorando:

Se riesci a dimostrare il teorema delle mappe rettangolari, ovvero mappe fatte da fogli di carta sovrapposti, hai anche dimostrato il 4ct. Inoltre, nella ricerca possono essere considerate solo le mappe con facce con tutti e 5 i bordi o più.

Vedi http://4coloring.wordpress.com/ per i dettagli.