Algoritmi polinomiali per UPB (basi di prodotti non estendibili)


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Considera uno spazio di Hilbert . Una base di prodotto inestendibile (UPB) è un insieme di vettori di prodotto tale che:H=H1Hn|vio=|vio1|vion

a) all sono reciprocamente ortogonali|vio

b) non esiste un vettore di prodotto ortogonale a tutto|vio

c) la base non è banale, cioè non si estende suH

(tali basi sono di interesse nell'informazione quantistica)

Domande:

  1. Esiste un algoritmo polinomiale (in ) per la ricerca di UPB? (nota che in generale non c'è limite superiore alla dimensione di UPB, quindi a priori potrebbe essere esponenziale in )nn

  2. Esiste un algoritmo polinomiale per verificare se una determinata base di prodotto è un UPB? (cioè non è estendibile)

O il problema NP è completo?


Sono confuso ... la base standard per H non soddisferebbe la condizione UPB in tutti i casi? O ci sono altre condizioni che mi mancano.
Artem Kaznatcheev

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@Artem: la condizione che manca è che il numero di vettori sia strettamente inferiore alla dimensione di . H1...Hn
Peter Shor,

Risposte:


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Sono un po 'sconcertato dalla domanda (1). Esiste una base di prodotto non estendibile in se o se e . In tutti questi casi, è semplice trovarne uno.H1H2...Hnn3n=2offuscareH1,offuscareH23

Per la domanda (2), la domanda equivale a verificare se esiste uno stato del prodotto tensore nel sottospazio che è il complemento dello spazio esteso dalla base. Leonid Gurvits ha dimostrato che verificare se un sottospazio generale contenga uno stato di prodotto tensore è NP-difficile, quindi sospetto che sia difficile anche in questo caso.


sì, ma sono potenzialmente interessato a trovare il maggior numero possibile di UPB inequivocabili (diciamo, rispetto agli unitari locali). La classificazione completa è nota solo per casi semplici come 2x2x2.
Marcin Kotowski,

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