Algoritmi polinomiali per UPB (basi di prodotti non estendibili)

Considera uno spazio di Hilbert . Una base di prodotto inestendibile (UPB) è un insieme di vettori di prodotto tale che:$H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$$\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$

a) all sono reciprocamente ortogonali$\vert v_i \rangle$

b) non esiste un vettore di prodotto ortogonale a tutto$\vert v_i \rangle$

c) la base non è banale, cioè non si estende su$H$

(tali basi sono di interesse nell'informazione quantistica)

Domande:

1. Esiste un algoritmo polinomiale (in ) per la ricerca di UPB? (nota che in generale non c'è limite superiore alla dimensione di UPB, quindi a priori potrebbe essere esponenziale in )$n$$n$

2. Esiste un algoritmo polinomiale per verificare se una determinata base di prodotto è un UPB? (cioè non è estendibile)

O il problema NP è completo?

Sono un po 'sconcertato dalla domanda (1). Esiste una base di prodotto non estendibile in se o se e . In tutti questi casi, è semplice trovarne uno.$H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$$n\geq 3$$n=2$$\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$

Per la domanda (2), la domanda equivale a verificare se esiste uno stato del prodotto tensore nel sottospazio che è il complemento dello spazio esteso dalla base. Leonid Gurvits ha dimostrato che verificare se un sottospazio generale contenga uno stato di prodotto tensore è NP-difficile, quindi sospetto che sia difficile anche in questo caso.

La classificazione completa è anche nota per un altro caso semplice 3x3, che viene affrontato per la prima volta nel documento http://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030 .

Il risultato è anche correlato alla costruzione di stati arbitrari 3x3 PPT di grado quattro. Vedi il documento

http://arxiv.org/abs/1105.3142 .