Ripristino della pendenza di una linea digitalizzata

11

C'è stato qualche lavoro per recuperare la pendenza di un segmento di linea dalla sua digitalizzazione? Non si può fare questo con la massima precisione, ovviamente; ciò che si desidera è un metodo per derivare da una linea digitalizzata un intervallo di possibili pendenze.

(La nozione di una linea digitalizzata che sto usando è quella di Rosenfeld: l'insieme di coppie dove va oltre gli interi (o un blocco di interi consecutivi) e indica l'intero più vicino a (se , prendiamo ).) $(i,nint(ai+b))$ $i$ $nint(x)$ $x$ $x=k+1/2$ $nint(x)=k$

Ho lavorato da solo su questo (vedi http://jamespropp.org/SeeSlope.nb ) ma non ho un background formale nella geometria computazionale, quindi sospetto che potrei reinventare la ruota, poiché la domanda sembra simile uno di base.

In effetti, so che il metodo di regressione lineare per stimare la pendenza è in letteratura, ma non sono stato in grado di trovare il mio risultato $O(1/n^{1.5})$ nessuna parte. (Questo risultato dice che se uno sceglie $a$ e $b$ uniformemente a caso in $[0,1]$ , allora la differenza tra la pendenza $a$ della linea $y=ax+b$ e la pendenza $\overline{a}$ della linea di regressione approssimare la $n$ punti $(i,nint(ai+b))$ ( $1 \leq i \leq n$ ) ha deviazione standard $O(1/n^{1.5})$ .)

Eventuali suggerimenti o indicazioni sulla letteratura pertinente saranno molto apprezzati.

Jim Propp (JamesPropp@ignorethis.gmail.com)

— Jim Propp
fonte

Quindi una digitalizzazione del punto sta approssimativamente parlando di un insieme di celle da una griglia ?

n

$n$

n \times n

$n \times n$

— Suresh Venkat,

1

Cosa intendi esattamente per linea digitalizzata? Supponevo che intendessi qualcosa di simile a una linea retta in una foto o in un'immagine rasterizzata, ma dai discorsi sulla regressione lineare sembra più che tu sia interessato a trovare una linea più adatta per alcuni dati campionati.

— Joe Fitzsimons,

Quindi, il modello si è in interessata che non sono una soluzione esatta di e , ma solo un'approssimazione a loro? Semplificherei il problema non considerando (è solo un turno fastidioso) e rimanendo con (si scopre che questo è solo un altro turno). Inoltre, cosa c'è qui?

a

$a$

b

$b$

b

$b$

⌊ a x ⌋

$\lfloor a x \rfloor$

n

$n$

— Mitch,

Scusa, Mitch; Ho dimenticato di spiegare cosa fosse ! L'ho aggiunto al post originale. - Jim

n

$n$

— Jim Propp

1

Vedi Generazione casuale di parole sturmiane finite di Berstel e Pocchiola per una prova che la regione fattibile del tuo LP ha solo tre o quattro lati, oltre a un semplice algoritmo per trovare il poligono dato pendenza e intercettazione. (Hanno a che fare con il riconoscimento delle parole sturmiane, ma i problemi sono fortemente correlati.)

Forniscono anche un elenco esplicito dei poligoni, quindi potrebbe essere possibile enumerare le aree dei poligoni e gli intervalli delle pendenze, in modo da poter ottenere il valore atteso dell'intervallo di pendenze (nonché i momenti più elevati ) come somma esplicita.

— deinst
fonte

4

L'approccio della geometria computazionale sostituirebbe ogni pixel (i, j) con un segmento verticale (i, j + [- 1 / 2,1 / 2]), prenderebbe gli scafi convessi degli insiemi di estremità superiore e inferiore e calcolerebbe il comune interno tangenti: delimitano la gamma di pendenze che producono questa linea digitale. Questa è solo l'interpretazione geometrica del programma lineare che citi nelle tue diapositive. O (n) il tempo è sufficiente per l'LP di Meggiddo, o per gli scafi e le tangenti di Graham-Yao.

— Jack
fonte

2

Che dire del metodo di trasformazione standard di Hough utilizzato per il rilevamento di linee nell'elaborazione delle immagini: http://en.wikipedia.org/wiki/Hough_transform ?

Se vuoi guadagnare un po 'di velocità, puoi usare la versione casuale di HT.

— Marzio De Biasi
fonte

1

Non conosco alcun lavoro in cg (o qualsiasi altro gruppo per quella materia) sulla derivazione della pendenza dall'insieme di punti discreti, ma questo è più un riflesso della mia mancanza di conoscenza.
$\Delta y$ $\Delta x$ $x$ $y$ $x$ $y$

— Mitch
fonte

O (1 / n)

$O(1/n)$