Qualche problema algoritmico ha una complessità temporale dominata dal conteggio?

Quello che mi riferisco al conteggio è il problema che consiste nel trovare il numero di soluzioni per una funzione. Più precisamente, data una funzione $f:N\to \{0,1\}$ (non necessariamente black-box), approssimativo $\#\{x\in N\mid f(x)= 1\}= |f^{-1}(1)|$.

Sto cercando problemi algoritmici che implicano una sorta di conteggio e per i quali la complessità temporale è fortemente influenzata da questo problema di conteggio sottostante.

Certo, sto cercando problemi che non contano i problemi stessi. E sarebbe molto apprezzato se tu potessi fornire la documentazione per questi problemi.

Questo è un seguito alla risposta di Suresh. Come dice, ci sono molti problemi di costruzione nella geometria computazionale in cui la complessità dell'output è un limite inferiore banale al tempo di esecuzione di qualsiasi algoritmo. Ad esempio: le disposizioni della linea planare, i diagrammi Voronoi tridimensionali e i grafici di visibilità planare hanno tutti una complessità combinatoria nel caso peggiore, quindi qualsiasi algoritmo che costruisce banalmente quegli oggetti richiede Ω ( n 2 ) tempo nel peggiore dei casi . (Esistono algoritmi O ( n 2 ) per tutti e tre questi problemi.)$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$O(n^2)$

Ma congetture simili sono ipotizzate da applicare anche a problemi di decisione . Ad esempio, dato un insieme di n linee nel piano, con quale facilità è possibile verificare se tre linee passano attraverso un punto comune? Bene, potresti costruire la disposizione delle linee (il grafico planare definito dai loro punti di intersezione e i segmenti tra loro), ma ciò richiede tempo. Uno dei principali risultati della mia tesi di dottorato è stato che all'interno di un modello di calcolo dell'albero delle decisioni limitato ma naturale, è necessario il tempo Ω ( n 2 ) per rilevare le intersezioni triple. Intuitivamente, noi dobbiamo enumerare tutti $\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$ punti di intersezione e cercare duplicati.$\binom{n}{2}$

Allo stesso modo, esiste un insieme di numeri in cui triple degli elementi si sommano a zero. Pertanto, qualsiasi algoritmo (modellato da una determinata classe di alberi decisionali) per verificare se un determinato set contiene tre elementi che si sommano a zero richiede Ω ( n 2 ) tempo . (È possibile radere alcuni registri tramite parallelismo a livello di bit, ma comunque.)$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$

Un altro esempio, anche della mia tesi, è il problema di Hopcroft: dati punti e n linee nel piano, ogni punto contiene qualsiasi linea. Il numero di caso peggiore di incidenze punto-linea si caratterizza per essere Θ ( n 4 / 3 ) . Ho dimostrato che in un modello di calcolo limitato (ma ancora naturale), Ω ( n$n$$n$$\Theta(n^{4/3})$è necessario un tempo$\Omega(n^{4/3})$per determinare se v'è ancora un'incidenza punto-linea. Intuitivamente, dobbiamo enumerare tuttinelle vicinanze$\Theta(n^{4/3})$ -incidenze e controllare ognuno per vedere se si tratta davvero di un'incidenza.

Formalmente, questi limiti inferiori sono ancora solo congetture, perché richiedono modelli di calcolo ristretti, che sono specializzati per il problema in questione, specialmente per il problema di Hopcroft). Tuttavia, dimostrare limiti inferiori per questi problemi nel modello di RAM è probabilmente altrettanto difficile di qualsiasi altro problema di limite inferiore (ovvero, non ne abbiamo idea) - vedere l'articolo SODA 2010 di Patrascu e Williams relativo alle generalizzazioni di 3SUM al tempo esponenziale ipotesi.

$|V|^{2.376}$

Valiant ha dimostrato che il problema di trovare il permanente di una matrice è completo per #P . Vedi la pagina di Wikipedia sul problema. #P è la classe di complessità corrispondente al conteggio del numero di percorsi di accettazione di una macchina NP.

Bipartite Planar (e genere di registro) Perfect Matching è un problema in cui l'algoritmo di Kastelyn per il conteggio di corrispondenze planari (esteso da Galluccio e Loebl e parallelizzato da Kulkarni, Mahajan e Vardarajan) svolge un ruolo importante anche nella versione di ricerca del problema. Tutti i riferimenti pertinenti sono disponibili nel seguente documento:

Alcuni abbinamenti perfetti e abbinamenti semi-integrali perfetti in NC. Raghav Kulkarni, Meena Mahajan e Kasturi R. Varadarajan. Chicago Journal of Theoretical Computer Science, Volume 2008 Articolo 4.

Prenderò "fortemente influenzato" come un vincolo debole piuttosto che come una riduzione. In questo senso, MOLTI problemi nella geometria computazionale hanno tempi di esecuzione che sono delimitati da una struttura combinatoria sottostante. per esempio, la complessità del calcolo di una disposizione di forme è direttamente collegata alla complessità intrinseca di tali disposizioni.

Un altro esempio attuale di ciò è che vari problemi nella corrispondenza del modello di punto hanno tempi di esecuzione che si riducono alla stima di quantità come il numero di distanze ripetute in un set di punti e così via.

Non sono sicuro se questo è quello che stavi cercando, ma le transizioni di fase dei problemi NP-Complete dipendono fortemente da argomenti probabilistici, che sono solo un'altra forma di conteggio.

LLL è stato utilizzato per risolvere alcuni problemi di somma dei sottoinsiemi "a bassa densità", il cui successo si basa su vettori a reticolo corto ad alta probabilità esistenti che soddisfano i criteri di essere una soluzione di somma di sottoinsieme. Survey Propagation si basa sulla struttura dello spazio della soluzione (e sul numero di soluzioni mentre corregge le variabili) per trovare soluzioni vicine alla soglia critica.

Borgs, Chayes e Pittel hanno praticamente completamente caratterizzato la transizione di fase del Problema di Partizione di numeri casuali (Uniforme) e quindi hanno caratterizzato quante soluzioni ci si può aspettare per una determinata istanza (casuale) del Problema di Partizione numerica.