Ambiguità e logica

Nella teoria degli automi (automi finiti, automi pushdown, ...) e nella complessità, esiste una nozione di "ambiguità". Un automa è ambiguo se c'è una parola con almeno due distinte prove accettanti. Una macchina è k- ambigua se per ogni parola w accettata dalla macchina ci sono al massimo k percorsi distinti per accettare w .$w$$k$$w$$k$$w$

Questa nozione è definita anche su grammatiche senza contesto: una grammatica è ambigua se esiste una parola che può essere derivata in due modi diversi.

È anche noto che molte lingue hanno una buona caratterizzazione logica su modelli finiti. (Se una lingua è regolare, esiste una formula monadica di secondo ordine ϕ sulle parole in modo tale che ogni parola w di L sia un modello di similar , analogamente NP se equivalente alle formule del secondo ordine in cui esistono quantificatori di ogni secondo ordine.)$L$$\phi$$w$$L$$\phi$

Quindi, la mia domanda è ai margini dei due domini: c'è qualche risultato, o addirittura una definizione canonica, di "ambiguità" delle formule di una data logica?

Posso immaginare alcune definizioni:

• non è ambiguo se esiste al massimo uno x tale che ϕ ( x ) è valido e che ϕ ( x ) non è ambiguo. $\exists x \phi(x)$$x$$\phi(x)$$\phi(x)$
• sarebbe ambiguo se esiste un modello di ϕ 0 e ϕ 1 o se ϕ i è ambiguo. $\phi_0\lor\phi_1$$\phi_0$$\phi_1$$\phi_i$
• Una formula SAT sarebbe non ambigua se esiste al massimo un'assegnazione corretta.

Quindi, mi chiedo se è una nozione ben nota, altrimenti potrebbe essere interessante provare a fare ricerche su questo argomento. Se la nozione è nota, qualcuno potrebbe darmi parole chiave che potrei usare per cercare informazioni sull'argomento (perché "ambiguità logica" fornisce molti risultati non correlati) o riferimenti a un libro / pdf / articolo?

Le regole in una grammatica e le regole di inferenza nella logica possono essere entrambe pensate come regole di produzione che ci danno "nuove cose" da "cose ​​conosciute". Proprio come ci possono essere molti modi per produrre (o analizzare) una parola rispetto a una grammatica, così possono esserci molti modi per produrre (o dimostrare) una formula logica. Questa analogia può essere ulteriormente approfondita. Ad esempio, alcuni sistemi logici ammettono forme normali di prove. Allo stesso modo, alcune grammatiche ammettono alberi di analisi canonici.

Quindi direi che i tuoi esempi dalla logica vanno nella direzione sbagliata. L'analogia corretta è

"parse tree": "word" = "proof": "formula logica"

In effetti, un tipo di grammatica sufficientemente generale sarà in grado di esprimere le regole di inferenza tipiche della logica, in modo che le parole grammaticalmente corrette siano precisamente le formule dimostrabili. In questo caso le alberi di analisi saranno effettivamente essere le prove.

Nella direzione opposta, se siamo disposti a pensare a regole di inferenza molto generali (che non hanno necessariamente un sapore logico tradizionale), allora ogni grammatica sarà espressibile come un sistema di assiomi (terminali) e regole di inferenza (produzioni). E ancora una volta vedremo che una prova è la stessa cosa di un albero di analisi.

Solo due osservazioni. Spero che aiutino.

Le definizioni standard di semantica di una logica e di verità seguono la presentazione di Tarski, procedendo per induzione sulla struttura della formula. Un'altra possibilità è quella di fornire una semantica basata sul gioco, come suggerito da Hintikka. Verità e soddisfacibilità sono tutte definite in termini di strategie in un gioco. Per le formule del primo ordine, si può dimostrare che una formula è vera secondo l'idea di Tarski se e solo se esiste una strategia vincente nel gioco Hintikka.

Verso la formalizzazione della tua domanda, ci si può chiedere se il gioco ammette più strategie. C'è anche l'interessante domanda se le strategie debbano essere deterministiche. Hintikka ha richiesto loro di essere deterministici. La prova che l'originale di Hintikka e la semantica di Tarski sono equivalenti richiede l'Assioma della scelta. Si può anche formalizzare la verità in termini di giochi con strategie non deterministiche con minori complicazioni.

Il tuo esempio di teoria del linguaggio ha portato alla mente determinismo, relazioni di simulazione e accettazione del linguaggio. Una relazione di simulazione tra automi implica l'inclusione della lingua tra le loro lingue sebbene il contrario non sia vero. Per gli automi deterministici le due nozioni coincidono. Ci si può chiedere se è possibile estendere le relazioni di simulazione in modo "fluido" per catturare l'equivalenza del linguaggio per gli automi non deterministici. Kousha Etessami ha un bellissimo documento che mostra come farlo usando k-simulazioni ( Una gerarchia di simulazioni calcolabili a tempo polinomiale per automi). Intuitivamente, la 'k' riflette il grado di non determinismo che la relazione di simulazione può catturare. Quando "k" è uguale al livello di non determinismo nell'automa, la simulazione e l'equivalenza del linguaggio coincidono. Quel documento fornisce anche una caratterizzazione logica delle simulazioni k in termini di logica modale poliadica e un frammento variabile limitato della logica del primo ordine. Ottieni inclusione della lingua, determinismo, giochi, logica modale e logica del primo ordine, tutto in un unico pacchetto.

Questo è iniziato come un commento sotto la risposta di Andrej Bauer, ma è diventato troppo grande.

Credo una definizione evidente dell'ambiguità da un punto di vista Finite Modello teoria sarebbe: $ambiguous(\phi) \implies \exists M_1,M_2 | M_1 \vDash \phi \wedge M_2 \vDash \phi \wedge M_1 \vDash \psi \wedge M_2 \nvDash \psi$

In parole, esistono modelli distinti della tua grammatica codificati come una formula che può essere distinta da una formula ψ , forse una sotto-formula di ϕ .$\phi$$\psi$$\phi$

Puoi collegarlo alla risposta di Andrej sulle prove attraverso la complessità descrittiva. La combinazione dell'esistenza di una codifica di un particolare modello più la sua accettazione da parte di una TM appropriata come modello di una data formula È una prova che gli assiomi e le inferenze (e quindi una grammatica equivalente) codificata in quella formula sono coerenti.

Per renderlo pienamente compatibile con la risposta di Andrej, dovresti dire che il modello è "generato" dalla formula che funge da filtro sullo spazio di tutti i possibili modelli finiti (o qualcosa del genere), con la codifica e l'azione del filtro sul modello di input come "prova". Le prove distinte testimoniano quindi l'ambiguità.

Questo potrebbe non essere un sentimento popolare, ma tendo a pensare alla teoria dei modelli finiti e alla teoria delle prove come la stessa cosa vista da diverse angolazioni. ;-)

Non sono sicuro della domanda applicata a CS, ma prova a cercare il termine vaghezza e logica. Nella filosofia della logica, l'ambiguità è generalmente distinta dalla vaghezza (vedi qui per esempio), e penso che ciò che cerchi sia vaghezza (poiché la vaghezza è definita come termini in cui ci sono casi limite). Il libro principale in quest'area è Vagueness di Timothy Williamson (ma vedi anche la bibliografia sul sito di Stanford sopra).

Sono (anche) d'accordo con Anrej.

Penso che la complessità descrittiva sia una caratterizzazione senza calcolo (che la rende interessante a modo suo) e quindi gli esempi di ambiguità computazionale dalla teoria dei linguaggi formali (automi / grammatiche / ...) che hai dato sembrano essere in un dominio abbastanza diverso . Nella complessità descrittiva i linguaggi corrispondono a classi di complessità e le query (in una lingua) corrispondono a problemi computazionali (non algoritmi). Non esiste un modo previsto per controllare / calcolare una query AFAIK, quindi se non si cerca ambiguità computazionale IMHO quegli esempi sono fuorvianti.