Trace Equivalence vs LTL Equivalence


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Sto cercando un semplice esempio di due sistemi di transizione che sono equivalenti a LTL, ma non equivalenti a tracce.

Ho letto la prova che Trace Equivalence è più fine di LTL Equivalence nel libro "Principles of Model Checking" (Baier / Katoen), ma non sono sicuro di capirlo davvero. Non riesco a immaginarlo, c'è forse un semplice esempio che può visualizzare la differenza?


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Potrei raccomandare di espandere l'acronimo nel titolo. Questo aiuterà gli altri a trovare la domanda e le risposte e potrebbe anche aiutare a portare la tua domanda all'attenzione di coloro che possono fornire buone risposte.
Marc Hamann,

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per non parlare delle ricerche su Google :)
Suresh Venkat,

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@Marc: usare l'acronimo LTL è assolutamente standard: i logici modali apprezzano i loro nomi brevi (si pensi a B, D4.3, KL, ecc.). Penso che il titolo non dovrebbe essere ampliato, dato che abbiamo il tag.
Charles Stewart,

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La domanda non è ancora molto ben definita: stai permettendo infinite strutture Kripke? Consideri le tracce miste (massime) finite e infinite o ne consenti solo infinite? Sto chiedendo perché AFAICR Baier & Katoen considerano solo il caso di strutture Kripke finite e tracce infinite, che escludono la risposta di Dave di seguito.
Sylvain,

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@atticae: con strutture Kripke totali finite (e quindi tracce infinite), mi aspetto che l'equivalenza LTL e l'equivalenza in traccia siano la stessa cosa ... Ci penserò.
Sylvain,

Risposte:


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Leggendo attentamente Baier e Katoen, stanno prendendo in considerazione sistemi di transizione sia finiti che infiniti. Vedi pagina 20 di quel libro per le definizioni.

Innanzitutto, prendi il semplice sistema di transizione :EVEN

ANCHE

Lemma: nessuna formula LTL riconosce la lingua Tracce ( E V E N ) . Una stringa c L e v e n iff c i = a per pari i . Vedi Wolper '81 . Puoi dimostrarlo dimostrando innanzitutto che nessuna formula LTL con n operatori "next-time" può distinguere le stringhe del modulo p i ¬ p p ω perLeven=(EVEN)cLevenci=ainpi¬ppωi>n, per semplice induzione.

Si consideri il seguente sistema di transizione (infinito, non deterministico) NOTEVEN . Si noti che esistono due diversi stati iniziali:

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Le sue tracce sono precisamente .{a,¬a}ωLeven

Corollario del Lemma: se quindi E V E N NOTEVENϕEVEN¬ϕ

Ora, considera questo semplice sistema di transizione TOTAL :

TS totale

Le sue tracce sono chiaramente .{a,¬a}ω

Pertanto, e T O T A L non sono equivalenti in tracce. Supponiamo che fossero LTL non equivalenti. Quindi avremmo una formula LTL ϕ tale che N O T E V E N ϕ e T O T A L ϕ . Ma poi, E V E N ¬NOTEVENTOTALϕNOTEVENϕTOTALϕ . Questa è una contraddizione.EVEN¬ϕ

Grazie a Sylvain per aver scoperto uno stupido bug nella prima versione di questa risposta.


Hmm, questo non è perfettamente chiaro. Dovrei rendere più espliciti i passaggi intorno alla contraddizione? Anche i sistemi di transizione non sono così belli come potrebbero essere ...
Mark Reitblatt

Stai interpretando male il linguaggio : il sistema che stai proponendo è equivalente alla formula a G ( ( a X ¬ a ) ( ¬ a X a ) ) . Il sistema corretto dovrebbe avere una scelta non deterministica nel iniziale, un -labeled stato q 0 tra andare a uno stato q 1 etichettati da un e uno q 2 non etichettati da un . Sia q 1 cheLevenaG((aX¬a)(¬aXa))aq0q1aq2aq1 hanno transizioni che ritornano a q 0 . q2q0
Sylvain,

@Sylvain hai ragione. Ho cercato di semplificare e ho finito per romperlo! Lasciami aggiustare.
Mark Reitblatt,

Non puoi "invertire" l'argomento, in modo che i due sistemi che confronti alla fine siano e T O T A L invece di N O T E V E N e T O T A L ? EVENTOTALNOTEVENTOTAL
Sylvain,

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@Mark Reitblatt: Da che cosa ragiona quella frase alla fine "Ma poi, ."? Non riesco a vedere un'argomentazione che porti a quel punto, che è essenziale per mostrare la contraddizione. EVEN¬ϕ
magnattico

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Se la definizione LTL include l'operatore "successivo", si applica quanto segue. Avete due serie di tracce e B . Lasciate b essere qualsiasi prefisso finita di una traccia in B . b deve anche essere un prefisso finito di una traccia in A , perché altrimenti puoi convertirlo in una formula che è solo una serie di operatori successivi che rileva la differenza. Pertanto, ogni prefisso finito di una parola B deve essere un prefisso finito di una parola A e viceversa. Ciò significa che se A B , ci deve essere una parola in b in modo che tutti i suoi prefissi finiti compaiano in A maABbBbABAABbAsistemi di transizione, penso che ciò sia impossibile. Supponendo infiniti sistemi di transizione, è possibile definirebdi per sé non appare in . Se A e B sono generati da finitoAAB

e B = A { w } dove w è ad esempio la parola infinita a b a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4A={a,b}ωB=A{w}waba2b2a3b3a4b4 .

Qualsiasi formula LTL che contiene universalmente per terrà universalmente per B perché B è un sottoinsieme di A . Qualsiasi formula LTL che vale per B vale anche per A ; per amor di contraddizione, supponiamo di no, ma che φ vale per ogni elemento di B (cioè per ogni elemento dell'universo aspettati la parola w ) ma non per w . Quindi ¬ φ restituisce true su w ma non su qualsiasi altra parola dell'universo (e LTL è chiuso sotto negazione) e non esiste una formula LTL che può essere vera solo per wABBABAφBww¬φwwcome ogni automa Buchi che accetta solo una parola infinita deve essere rigorosamente ciclico mentre non lo è.w


Quelle sono tracce finite. Supponendo di estenderli a infinite tracce con alla fine, la formula ¬ ( b X ( b X G a ) ) accetta il secondo set ma rifiuta il primo. aω¬(bX(bXGa))
Mark Reitblatt,

Hai ragione, ho scritto una nuova risposta :) LOL, mi sono ricordato dai miei giorni in Cs teorici che LTL non ha il prossimo operatore :)
antti.huima

Penso che questo faccia il trucco.
Dave Clarke,

Penso che funzioni anche.
Mark Reitblatt,

Questa risposta non è soddisfacente. Il PO chiedeva sistemi di transizione, ma la risposta riguarda le lingue e giustificata in termini di automi Buchi e lingue regolari , che non sono nel testo di riferimento. ω
Mark Reitblatt,
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