Trace Equivalence vs LTL Equivalence

Sto cercando un semplice esempio di due sistemi di transizione che sono equivalenti a LTL, ma non equivalenti a tracce.

Ho letto la prova che Trace Equivalence è più fine di LTL Equivalence nel libro "Principles of Model Checking" (Baier / Katoen), ma non sono sicuro di capirlo davvero. Non riesco a immaginarlo, c'è forse un semplice esempio che può visualizzare la differenza?

Leggendo attentamente Baier e Katoen, stanno prendendo in considerazione sistemi di transizione sia finiti che infiniti. Vedi pagina 20 di quel libro per le definizioni.

Innanzitutto, prendi il semplice sistema di transizione :$EVEN$

Lemma: nessuna formula LTL riconosce la lingua Tracce ( E V E N ) . Una stringa c ∈ L e v e n iff c i = a per pari i . Vedi Wolper '81 . Puoi dimostrarlo dimostrando innanzitutto che nessuna formula LTL con n operatori "next-time" può distinguere le stringhe del modulo p i ¬ p p ω per$L_{even} =$$(EVEN)$$c \in L_{even}$$c_i = a$$i$$n$$p^i\neg p p^\omega$$i> n$, per semplice induzione.

Si consideri il seguente sistema di transizione (infinito, non deterministico) $NOTEVEN$ . Si noti che esistono due diversi stati iniziali:

Le sue tracce sono precisamente .$\{a,\neg a\}^\omega - L_{even}$

Corollario del Lemma: se quindi E V E N $NOTEVEN \vDash \phi$$EVEN \not\vDash \neg\phi$

Ora, considera questo semplice sistema di transizione $TOTAL$ :

Le sue tracce sono chiaramente .$\{a,\neg a\}^\omega$

Pertanto, e T O T A L non sono equivalenti in tracce. Supponiamo che fossero LTL non equivalenti. Quindi avremmo una formula LTL ϕ tale che N O T E V E N ⊨ ϕ e T O T A L ⊭ ϕ . Ma poi, E V E N ⊨ $NOTEVEN$$TOTAL$$\phi$$NOTEVEN \vDash \phi$$TOTAL \not\vDash \phi$ . Questa è una contraddizione.$EVEN\vDash \neg\phi$

Grazie a Sylvain per aver scoperto uno stupido bug nella prima versione di questa risposta.

Se la definizione LTL include l'operatore "successivo", si applica quanto segue. Avete due serie di tracce e B . Lasciate b essere qualsiasi prefisso finita di una traccia in B . b deve anche essere un prefisso finito di una traccia in A , perché altrimenti puoi convertirlo in una formula che è solo una serie di operatori successivi che rileva la differenza. Pertanto, ogni prefisso finito di una parola B deve essere un prefisso finito di una parola A e viceversa. Ciò significa che se A ≠ B , ci deve essere una parola in b in modo che tutti i suoi prefissi finiti compaiano in A ma$A$$B$$b$$B$$b$$A$$B$$A$$A \not= B$$b$$A$sistemi di transizione, penso che ciò sia impossibile. Supponendo infiniti sistemi di transizione, è possibile definire$b$di per sé non appare in . Se A e B sono generati da finito$A$$A$$B$

e B = A ∖ { w } dove w è ad esempio la parola infinita a b a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4$A = \{a,b\}^\omega$$B = A \setminus \{w\}$$w$$aba^2b^2a^3b^3a^4b^4\cdots$ .

Qualsiasi formula LTL che contiene universalmente per terrà universalmente per B perché B è un sottoinsieme di A . Qualsiasi formula LTL che vale per B vale anche per A ; per amor di contraddizione, supponiamo di no, ma che φ vale per ogni elemento di B (cioè per ogni elemento dell'universo aspettati la parola w ) ma non per w . Quindi ¬ φ restituisce true su w ma non su qualsiasi altra parola dell'universo (e LTL è chiuso sotto negazione) e non esiste una formula LTL che può essere vera solo per $A$$B$$B$$A$$B$$A$$\varphi$$B$$w$$w$$\neg\varphi$$w$$w$come ogni automa Buchi che accetta solo una parola infinita deve essere rigorosamente ciclico mentre non lo è.$w$