Approccio coomologico alla complessità booleana

Alcuni anni fa, c'era un lavoro di Joel Friedman relativo ai limiti del circuito inferiore alla coomologia di Grothendieck (vedi documenti: http://arxiv.org/abs/cs/0512008 , http://arxiv.org/abs/cs/0604024 ). Questa linea di pensiero ha portato nuove intuizioni nella complessità booleana o rimane piuttosto una curiosità matematica?

Ho corrisposto a Joel Friedman circa 3 anni fa su questo argomento. All'epoca affermò che il suo approccio non aveva portato a nuove intuizioni significative nella teoria della complessità, anche se pensava ancora che fosse un approccio promettente.

Fondamentalmente, Friedman cerca di riformulare i problemi della complessità dei circuiti nel linguaggio dei covoni su una topologia di Grothendieck. La speranza è che questo processo permetta di applicare l'intuizione geometrica al problema di trovare limiti inferiori del circuito. Anche se vale sicuramente la pena verificare se questo percorso porta ovunque, ci sono ragioni euristiche per essere scettici. L'intuizione geometrica funziona meglio nel contesto di varietà lisce, o cose sufficientemente simili alle varietà lisce che l'intuizione non si scompone del tutto. In altre parole, hai bisogno di una struttura affinché l'intuizione geometrica diventi un punto d'appoggio. Ma i limiti inferiori del circuito per loro stessa natura devono confrontarsi con calcoli arbitrari, che sono difficili da analizzare proprio perché sembrano essere così privi di struttura. Friedman ammette fin dall'inizio che le topologie di Grothendieck che considera sono altamente combinatorie e ben lontane dai soliti oggetti di studio nella geometria algebrica.

Come commento laterale, direi che è importante non eccitarsi troppo per un'idea solo perché utilizza macchinari poco familiari e ad alta potenza. Il macchinario potrebbe essere molto efficace nel risolvere i problemi per cui è stato progettato, ma per essere utile per attaccare un problema noto e difficile in un altro dominio, ci deve essere qualche argomento convincente per cui il macchinario straniero è ben adattato per affrontare il fondamentale ostacolo al problema di interesse.

Penso che Timothy Chow abbia esattamente ragione. Ho il mio personale elenco di idee che coinvolgono varietà "lisce" o concetti come il conteggio di componenti collegati o monomi che accompagnano gli ultimi gradini della "scala di coomologia" --- tutti loro hanno dimostrato di non essere predicati di durezza di ( variazioni su) la costruzione Mayr-Meyer che mostra la completezza di EXPSPACE di vari problemi relativi alla GCT. Il mio unico riff nel suo ultimo paragrafo è che penso che sia necessaria una sorta di macchinario ad alta potenza ...!