Teoremi a punto fisso per spazi metrici costruttivi?

Il teorema del punto fisso di Banach dice che se abbiamo uno spazio metrico completo non vuoto $A$ , allora qualsiasi funzione uniformemente contrattiva $f : A \to A$ ha un punto fisso univoco $\mu(f)$ . Tuttavia, la dimostrazione di questo teorema richiede l'assioma della scelta - dobbiamo scegliere un elemento arbitrario $a \in A$ per iniziare iterando $f$ da, per ottenere la sequenza di Cauchy $a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$ .

Come vengono affermati i teoremi a virgola fissa nell'analisi costruttiva?
Inoltre, ci sono riferimenti concisi a spazi metrici costruttivi?

Il motivo per cui chiedo è che voglio costruire un modello di Sistema F in cui i tipi portino anche una struttura metrica (tra le altre cose). È piuttosto utile che nella teoria degli insiemi costruttivi, possiamo preparare una famiglia di insiemi $U$ , in modo tale che $U$ sia chiusa sotto prodotti, esponenziali e famiglie indotte da $U$ , il che rende facile dare un modello di Sistema F.

Sarebbe molto bello se potessi cucinare una simile famiglia di spazi ultrametrici costruttivi. Ma dal momento che l'aggiunta della scelta alla teoria degli insiemi costruttiva la rende classica, ovviamente devo stare più attento ai teoremi a punto fisso, e probabilmente anche ad altre cose.

— Neel Krishnaswami
fonte

Puoi cambiare l'ipotesi in

essendo un insieme abitato . Non si invocando l'assioma di scelta di scegliere

A

$A$

a \in A

$a\in A$

— Colin McQuillan,

L'assioma della scelta viene utilizzato quando esiste una raccolta di "cose" e si sceglie un elemento per ogni "cosa". Se c'è solo una cosa nella collezione, non è l'assioma della scelta. Nel nostro caso abbiamo solo uno spazio metrico e stiamo "scegliendo" un punto in esso. Quindi questo non è l'assioma di scelta, ma l'eliminazione di quantificatori esistenziali, vale a dire, abbiamo un'ipotesi e diciamo "lascia che sia tale che ". Sfortunatamente, le persone spesso dicono " $\exists x \in A . \phi(x)$ $x \in A$ $\phi(x)$ $x \in A$ ", che sembra quindi l'applicazione dell'assioma di scelta. $\phi(x)$

Per riferimento, ecco una dimostrazione costruttiva del teorema del punto fisso di Banach.

Teorema: una contrazione su uno spazio metrico completo abitato ha un punto fisso unico.

Prova. Supponiamo che sia uno spazio metrico completo abitato e è una contrazione. Poiché è una contrazione esiste tale che e per tutti $(M,d)$ $f : M \to M$ $f$ $\alpha$ $0 < \alpha < 1$ $d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$ $x, y \in M$ .

Supponiamo che e siano punto fisso di . Quindi abbiamo da cui segue che $u$ $v$ $f$

d (u, v) = d (f (u), f (v)) \leq α d (u, v)

$d(u,v) = d(f(u), f(v)) \leq \alpha d(u,v)$

, quindi

. Ciò dimostra che

ha al massimo un punto fisso.

0 \leq d (u, v) \leq (α - 1) d (u, v) \leq 0

$0 \leq d(u,v) \leq (\alpha - 1) d(u,v) \leq 0$

d (u, v) = 0

$d(u,v) = 0$

u = v

$u = v$

f

$f$

Resta da dimostrare l'esistenza di un punto fisso. Poiché è abitato esiste . Definire la sequenza modo ricorsivo per Possiamo provare per induzione che . Da ciò ne consegue che $M$ $x_0 \in M$ $(x_i)$

x_{i + 1} = f (X_{io}) .

$x_{i+1} = f(x_i).$

d (x_{i}, x_{i + 1}) \leq α^{i} \cdot d (x_{0}, x_{1})

$d(x_i, x_{i+1}) \leq \alpha^i \cdot d(x_0, x_1)$

è una sequenza di Cauchy. Poiché

è completa, la sequenza ha un limite

. Poiché

è una contrazione, è uniformemente continua e quindi commuta con limiti di sequenze:

(x_{i})

$(x_i)$

M

$M$

y = lim_{i} x_{i}

$y = \lim_i x_i$

f

$f$

Quindi

è un punto fisso di

. QED

f (y) = f (lim_{io} X_{io}) = lim_{io} f (X_{io}) = lim_{io} X_{io + 1} = lim_{io} X_{io} = y .

$f(y) = f(\lim_i x_i) = \lim_i f(x_i) = \lim_i x_{i+1} = \lim_i x_i = y.$

y

$y$

f

$f$

Osservazioni:

Ho fatto attenzione a non dire "scegli " e "scegli ". È normale dire queste cose, e si aggiungono solo alla confusione che impedisce ai matematici ordinari di essere in grado di dire ciò che è e non è l'assioma della scelta. $\alpha$ $x_0$
$u$ $v$ $f$ $\lnot\lnot (u = v)$ $u = v$
$(x_i)$ $x_0$ $\exists x \in M . \top$ $x_0$ $M$
$M$ $\exists x \in M . \top$ $M$ $\lnot\forall x \in M . \bot$
$\mathrm{fix}_M$ $M$ $M$ $\forall\exists$
Infine, i seguenti teoremi a virgola fissa hanno versioni costruttive:
- Teorema a virgola fissa di Knaster-Tarski per mappe monotone su reticoli completi
- Teorema del punto fisso di Banach per contrazioni su uno spazio metrico completo
- Teorema a virgola fissa di Knaster-Tarski per mappe monotone su dcpos (dimostrato da Pataraia)
- Vari teoremi a virgola fissa nella teoria dei domini di solito hanno prove costruttive
- Il teorema di ricorsione è una forma di teorema a virgola fissa e ha una dimostrazione costruttiva
- Ho dimostrato che il teorema a virgola fissa di Knaster-Tarski per mappe monotone su poset completi di catene non ha una dimostrazione costruttiva. Allo stesso modo, il teorema del punto fisso di Bourbaki-Witt per mappe progressive su poset completi di catene fallisce in modo costruttivo. Il controesempio per quello successivo deriva dai topos effettivi: nei topos ordinali effettivi (opportunamente definiti) formano un insieme e le mappe successive sono progressive e non hanno punti fissi. A proposito, la mappa successiva sugli ordinali non è monotona nei topos effettivi.

Queste sono piuttosto più informazioni di quelle che hai chiesto.

— Andrej Bauer
fonte

Qualcuno degli assiomi degli spazi metrici deve essere riformulato?

— Neel Krishnaswami,

questa è l'ennesima bella risposta, Andrej!

— Suresh Venkat,

@Neel: No, gli assiomi sono gli stessi del caso classico.

— Andrej Bauer,

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x = λ M . λ f . f ({f i x}_{M} (f))

$\mathrm{fix} = \lambda M . \lambda f . f(\mathrm{fix}_M(f))$

M

$M$

f

$f$

M

$M$

M

$M$