Risultati in CS teorico indipendente da ZFC

Farò una domanda piuttosto vaga, dal momento che il confine tra informatica teorica e matematica non è sempre facile da distinguere.

DOMANDA: Sei a conoscenza di qualche risultato interessante in CS che è indipendente da ZFC (cioè teoria dell'insieme standard), o che è stato originariamente dimostrato in ZFC (+ qualche altro assioma) e solo successivamente dimostrato in ZFC alorne?

Lo sto chiedendo perché sto per concludere la mia tesi di dottorato e il mio risultato principale (la determinazione di una classe di giochi che sono usati per dare "semantica di gioco" a un calcolo- modale probabilistico ) è attualmente dimostrato in La ZFC si è estesa con altri assiomi (vale a dire la negazione dell'ipotesi di Continuum ¬ C H e, l'assioma di Martin M A ).$\mu$$\neg CH$$MA$

Quindi l'impostazione è chiaramente Informatica (il -calculus modale è una logica temporale e la sto estendendo per lavorare con sistemi probabilistici).$\mu$

Vorrei citare nella mia tesi altri esempi (se ne siete a conoscenza) di questo tipo.

Grazie in anticipo,

addio

Matteo

Anche se non sono a conoscenza di tali risultati, oltre al tuo, penso che potresti ampliare un po 'l'ambito e chiedere: quali risultati sono stati dimostrati nel TCS usando (qualsiasi tipo di) assiomi non standard. Per non standard qui intendo qualcosa di diverso dalla logica classica con ZF (o ZFC).

Un bell'esempio del tipo di lavoro che ho in mente sono i risultati di Alex Simpson sulle proprietà dei linguaggi di programmazione che usano la teoria dei domini sintetici. Usa la teoria degli insiemi intuitivi con assiomi che contraddicono la logica classica.

Inoltre, io e Alex abbiamo usato gli assiomi intuizionisti con principi di continuità anti-classica per mostrare i risultati sulla computabilità di Banach-Mazur.

Tuttavia, nessuno degli esempi citati ha uno stato "aperto", come le tue prove, perché sappiamo che gli assiomi non standard che abbiamo usato possono essere intesi semplicemente lavorando all'interno di un modello di matematica intuizionista, in cui si può dimostrare che il modello esiste in ZFC. Quindi l'installazione non standard è davvero un modo per fare le cose in modo più elegante, e in linea di principio potrebbero essere fatte direttamente in ZFC (anche se ho paura di pensare esattamente come andrebbe).

Dipende dalla tua definizione di "Informatica". Prendi l'esempio di seguito: conta?

Una codifica dei numeri interi è un codice binario unico decodificabile di . Se la lunghezza delle parole in codice non è decrescente, chiamiamo il codice monotono . Un codice C 1 è migliore di un codice C 2 se | C 1 ( n ) | - | C 2 ( n ) | → - ∞ . In altre parole, per ogni L , da un certo punto in poi le parole in codice di C 1 sono almeno L bit più brevi.$\mathbb{N}$$C_1$$C_2$$|C_1(n)| - |C_2(n)| \rightarrow -\infty$$L$$C_1$$L$

Un insieme di codici è chiamato Cofiñal se per ogni codice C esiste un codice D ∈ S che è meglio di C . È ben ordinato se è ben ordinato rispetto al "migliore". Una scala è un set di codici cofinale ben ordinato.$S$$C$$D \in S$$C$

Ecco due proprietà indipendenti da ZFC:

1. Esiste una scala di codici.
2. Esiste una scala di codici monotoni (cioè un insieme ben ordinato di codici monotoni che è cofinale nell'insieme di tutti i codici monotoni).

Un cono di gradi Turing è un insieme di gradi con una certa base b ∈ D tale che per tutti gradi c , b ≤ T c se e solo se c ∈ D .$D$$b \in D$$c$$b \leq_T c$$c \in D$

La dichiarazione di determinazione del grado di Turing :

Ogni set di gradi di Turing contiene un cono o è disgiunto da qualche cono

è una conseguenza dell'assioma della determinazione (AD), che è indipendente da ZF e incompatibile con ZFC. L'affermazione più debole

Ogni insieme di reali di Borel chiuso sotto l'equivalenza di Turing contiene un cono o è disgiunto da un cono

è una conseguenza del teorema di Martin sulla determinazione di Borel, che è dimostrabile in ZFC. Entrambe queste affermazioni sono state studiate prima che il risultato di Martin sulla determinazione di Borel fosse dimostrato, a quel tempo si sapeva solo che sono entrambi dimostrabili in ZF + AD.

$S$$b$$c \in S$$b \leq_T c$$S$$S$

Di recente ho partecipato a un talk con uno di questi risultati, per la determinazione dei giochi Büchi a un contatore: Olivier Finkel, The Determinacy of Context-Free Games , STACS 2012, http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2012/ 3389 / pdf / 5.pdf .

Molta matematica costruttiva. Vedi il lavoro di Per Martin-Löf sulla teoria degli insiemi costruttiva, usata come base per linguaggi di programmazione tipicamente dipendenti.