Qual è la struttura più generale su cui è possibile eseguire la verifica del prodotto matrice in tempo?

Nel 1979, Freivalds mostrò che la verifica dei prodotti della matrice su qualsiasi campo poteva essere effettuata in tempi randomizzati . Più formalmente, date tre matrici A, B e C, con voci da un campo F, il problema di verificare se AB = C ha un algoritmo temporale randomizzato .O ( n 2$O(n^2)$$O(n^2)$

Questo è interessante perché l'algoritmo più veloce conosciuto per la moltiplicazione delle matrici è più lento di così, quindi controllare se AB = C è più veloce del calcolo C.

Voglio sapere qual è la struttura algebrica più generale su cui la verifica del prodotto matrice ha ancora un algoritmo tempo (randomizzato). Poiché l'algoritmo originale funziona su tutti i campi, suppongo che funzioni anche su tutti i domini integrali.$O(n^2)$

La migliore risposta che ho potuto trovare a questa domanda è stata nelle equivalenze subcubiche tra problemi di percorso, matrice e triangolo , in cui si dice che "la verifica del prodotto matriciale su anelli può essere eseguita in tempo randomizzato [BK95]". ([BK95]: M. Blum e S. Kannan. Progettazione di programmi che controllano il loro lavoro. J. ACM, 42 (1): 269–291, 1995.)$O(n^2)$

Innanzitutto, gli anelli sono la struttura più generale su cui questo problema ha un algoritmo randomizzato ? In secondo luogo, non sono riuscito a vedere come i risultati di [BK95] mostrano un algoritmo temporale su tutti gli anelli. Qualcuno può spiegare come funziona?O ( n 2$O(n^2)$$O(n^2)$

Ecco un rapido argomento per il motivo per cui funziona su anelli. Date le matrici , B , C , verifichiamo A B = C selezionando un vettore di bit casuale v , quindi controllando se A B v = C v . Questo passa chiaramente se A B = C .$A$$B$$C$$A B = C$$v$$ABv = Cv$$AB = C$

Supponiamo che e A B v = C v . Lasciate D = A B - C . D è una matrice diversa da zero per cui D v = 0 . Qual è la probabilità che ciò accada? Sia D [ i ′ , j ′ ] una voce diversa da zero. Per ipotesi, ∑ j D [ i ′ , j ] v [ j ] = $AB \neq C$$ABv = Cv$$D = AB - C$$D$$Dv = 0$$D[i',j']$$\sum_{j} D[i',j] v[j] = 0$. Con probabilità , v [ j ' ] = 1 , quindi abbiamo$1/2$$v[j'] = 1$

.$D[i',j'] + \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j] = 0$

Qualsiasi anello sotto la sua operazione di addizione è un gruppo additivo, quindi esiste un inverso univoco di , cioè, - D [ i ′ , j ′ ] . Ora, la probabilità che l'evento negativo - D [ i ' , j ' ] = Σ j ≠ j ' D [ i ' , j ] v [ j ] è al massimo 1 /$D[i',j']$$-D[i',j']$$-D[i',j'] = \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j]$$1/2$. (Un modo per vedere questo è il "principio delle decisioni differite": affinché la somma sia uguale a , almeno un altro D [ i ′ , j ] deve essere diverso da zero. Quindi considera v [ j ] corrispondente a queste altre voci diverse da zero. Anche se impostiamo tutte queste v [ j ] tranne una in modo ottimale , esiste comunque la stessa probabilità che l'ultima sia 0 o $-D[i',j']$$D[i',j]$$v[j]$$v[j]$$0$$1$, Ma ancora solo uno di questi valori potrebbero rendere la somma finale pari a .) Quindi, con probabilità di almeno 1 / 4 , siamo riusciti a scoprire che D v ≠ 0 , quando D è diverso da zero. (Nota v [ j ] e v [ j ′ ] sono scelti indipendentemente per j ≠ j ′ .)$-D[i',j']$$1/4$$Dv \neq 0$$D$$v[j]$$v[j']$$j \neq j'$

Come vedi, l'argomento sopra dipende dalla sottrazione. Quindi non funzionerà (ad esempio) su semirazioni commutative arbitrarie. Forse potresti rilassare le proprietà moltiplicative della struttura algebrica e ottenere ancora il risultato?