Squilibrio massimo in un grafico?

Lasciate $G$ un grafo connesso $G = (V,E)$ con nodi $V = 1 \dots n$ e bordi $E$ . Lasciare $w_i$ indicare il (intero) peso del grafo $G$ , con $\sum_i w_i = m$ peso totale nel grafico. Il peso medio per nodo è quindi $\bar w = m/n$ . Sia $e_i = w_i - \bar w$ denota la deviazione del nodo $i$ dal medio. Chiamiamo $|e_i|$ losquilibriodel nodo $i$ .

Supponiamo che il peso tra due nodi adiacenti possa differire al massimo di $1$ , ovvero

w_{i} - w_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E .

$w_i - w_j \le 1\; \forall (i,j) \in E.$

Domanda : Qual è lo squilibrio più grande possibile che la rete possa avere, in termini di $n$ e $m$ ? Per essere più precisi, immagina il vettore $\vec{e} = (e_1, \dots, e_n)$ . Sarei altrettanto contento dei risultati riguardanti $||\vec{e}||_1$ o $||\vec{e}||_2$ .

Per $||\vec{e}||_\infty$ , un semplice rilegato in termini di diametro grafico può essere trovato: Poiché tutti $e_i$ deve sommare a zero, se v'è un grande positivo $e_i$ , ci deve essere qualche negativo $e_j$ . Da qui la loro differenza $|e_i - e_j|$ è almeno $|e_i|$ , ma questa differenza può essere al massimo la distanza più breve tra nodi $i$ e $j$ , che a sua volta può essere al massimo il diametro del grafico.

Sono interessato a limiti più forti, preferibilmente per $1$ - o $2$ -norm. Suppongo che dovrebbe coinvolgere qualche teoria spettrale del grafico per riflettere la connettività del grafico. Ho provato a esprimerlo come un problema di flusso massimo, senza risultato.

EDIT: più spiegazione. Sono interessato all'anomalia $1$ - o $2$ in quanto rispecchiano più accuratamente lo squilibrio totale. Una relazione banale sarebbe ottenuta da $||\vec{e}||_1 \leq n|||\vec{e}||_\infty$ e . Mi aspetto, tuttavia, che a causa della connessione del grafico e del mio vincolo nella differenza di carichi tra nodi adiacenti, che ivaloriedebbano essere molto più piccoli. $||\vec{e}||_2 \leq \sqrt{n}||\vec{e}||_\infty$ $1$ $2$

Esempio: ipercubo della dimensione d, con . Ha diametro . Lo squilibrio massimo è quindi al massimo . Questo suggerisce come limite superiore per -norm . Finora, non sono stato in grado di costruire una situazione in cui questo è effettivamente ottenuto, il meglio che posso fare è qualcosa sulla falsariga di $n = 2^d$ $d = \log_2(n)$ $d$ $1$ $nd = n\log_2(n)$ $||\vec{e}||_1 = n/2$ , dove incorporo un ciclo in Hypercube e ho i nodi con squilibri , , , ecc. Quindi, qui il limite è disattivato da un fattore di , che considero già troppo, poiché sto cercando limiti (asintoticamente) stretti. $0$ $1$ $0$ $-1$ $\log(n)$

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— Lagerbaer
fonte

domanda interessante. c'è qualche applicazione particolare?

— Suresh Venkat,

@ András Salamon: Grazie per la modifica. @Suresh Venkat: Supponiamo che i pesi rappresentino il numero di agenti di dimensioni uniformi, che vogliono minimizzare il loro carico sperimentato. Vorranno passare da

. Se nessuno vuole muoversi, lo chiamiamo un equilibrio di Nash. Domanda: Qual è il più grande squilibrio totale che potremmo avere in un equilibrio di Nash?

i

$i$

j

$j$

w_{i} > w_{i}

$w_i > w_i$

— Lagerbaer,

Ti capita di avere un esempio di un grafico in cui il limite del diametro semplice è troppo lento?

— mum

Bene, posso banalmente limitare le altre due norme usando

. Sono interessato a

- o

-norm poiché catturano più accuratamente lo squilibrio "totale". Ho aggiunto un esempio alla mia domanda.

| | \vec{e} | |_{1} \leq n | | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_1 \leq n||\vec{e}||_\infty$

1

$1$

2

$2$

— Lagerbaer,

Per l'ipercubo, e se pesassimo i vertici in base al loro peso di Hamming? Ottengo qualcosa del tipo

per

, e penso che

sarà di ordine

\sqrt{d (n - 2)} / 2

$\sqrt{d(n - 2)}/2$

l_{2}

$l_2$

l_{1}

$l_1$

n d

$nd$

— Artem Kaznatcheev

Risposte:

Dal è delimitato dal diametro , la norma sarà banalmente delimitata da , allo stesso modo per la norma , tranne che per $|e_i|$ $d$ $\ell_1$ $nd$ $\ell_2$ (in effetti lanormaè limitata da). $\sqrt{n}d$ $\ell_p$ $n^{1/p}d$

Il caso risulta sorprendentemente facile da analizzare. $\ell_1$

$\|\vec e\|_1$ $O(n^2)$ $O(nd)$

Per un albero -ary completo , puoi dividerlo a metà nella radice, impostando , ascendendo da una parte e scendendo sull'altra fino a quando le foglie hanno , producendo . $k$ $w_{\text{root}} = 0$ $|e_i| = |w_i| = \log_k n$ $O(n\log_k n) = O(nd)$

Per una cricca in realtà non importa come si distribuiscono i pesi, in quanto saranno tutti all'interno di l'uno dall'altro, e che produrrà di nuovo. $1$ $O(n) = O(nd)$

Quando ti rendi conto che ciò di cui stiamo parlando qui è una funzione , e quindi prendiamo il suo Normalmente, fintanto che è possibile distribuire arbitrariamente pesi uniformemente nell'intervallo, il limite sarà . $e : \mathbb{Z} \to [-d/2,d/2] \subset \mathbb{R}$ $\ell_1$ $e_i \in [-d/2,d/2]$ $O(nd)$

L'unico modo per cambiarlo è giocare con la massa. Ad esempio, se hai diverse cricche giganti in punti necessariamente bilanciati, come una cricca gigante con due percorsi di uguale lunghezza sporgenti da essa, puoi contare su un limite di solo (ad esempio) . $O(d^2)$

Questo può essere vero anche per gli espansori, ma non ne sono sicuro. Potrei immaginare un caso in cui hai impostato in un grafico normale e poi fai aumentare i valori successivamente da ogni hop. Sembra probabile che la media possa avere la maggior parte della massa, ma non so se sarebbe abbastanza per influenzare il limite. $w_1 = 0$

Penso che potresti ragionare in modo simile su . $\ell_2$

MODIFICARE:

Nei commenti abbiamo scoperto un limite (sciolto) di usando i vincoli del problema e una teoria dei grafi spettrali di base. $\ell_2$ $O(|E|/\lambda_2(L))$

— Josephine Moeller
fonte

Mi piace la tua risposta. Tuttavia, ho un problema con " purché sia possibile distribuire arbitrariamente pesi uniformemente su tutta la gamma ". Non potrei immaginare una situazione in cui il limite del diametro mi consentirebbe di posizionare un peso da qualche parte ma poi la struttura del grafico è tale da non poter compensare questo grande peso positivo? Quindi, mentre ovviamente è un limite superiore, sarebbe possibile ottenere limiti più stretti? Alla fine stai usando il secondo autovalore laplaciano più piccolo o il secondo autovalore di adiacenza più grande (mentre codificano le informazioni di connettività)?

e_{i} = d / 2

$e_i = d/2$

O (n d)

$\mathcal{O}(nd)$

— Lagerbaer,

Bene, non stai posizionando , stai posizionando . Quindi, se hai un inclinato , ci deve essere un gran numero di piccoli pesi che lo compensano dall'altro lato della media, o qualche altro grande peso diametralmente opposto ad esso. L'unico modo per ottenere un limite inferiore a è in qualche modo contare sulla struttura. E come ho detto, non sono sicuro di cosa significherebbe, per esempio, un espansore. Non credo che tu possa farlo puramente sulla base della conduttanza, a causa dei casi che ho esposto nella mia risposta.

e_{i}

$e_i$

w_{i}

$w_i$

e_{i}

$e_i$

O (n d)

$O(nd)$

— Josephine Moeller,

Lasciami offrire un altro esempio. Un grafico dumbell con due cricche ha una conduttanza molto bassa, ma il suo squilibrio è delimitato da 2.

— Josephine Moeller

Un limite relativo alla struttura sarebbe qualcosa di cui sarei perfettamente felice. Ecco perché ho citato gli autovalori, in quanto si riferiscono alle proprietà della connessione. Esistono, ad esempio, limiti sul diametro, sul percorso medio, sul numero isoperimetrico ecc. In termini del secondo autovettore più piccolo della matrice laplaciana del grafico.

— Lagerbaer,

Leggi il tuo altro esempio proprio ora. Mi aspetto che un tale grafico avrebbe anche un autovalore laplacico di secondo grado molto piccolo, poiché il numero isoperimetrico sarebbe di circa .

2 / n

$2/n$

— Lagerbaer,

Per i grafici collegati, lo squilibrio è limitato dal diametro del grafico. Al fine di limitare lo squilibrio , possiamo riscrivere ogni come dove è il percorso più breve da a . Definisci . Possiamo scrivere $|w_i - 1/n\sum_k w_k|$ $w_k$ $w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i + w_i$ $w_k, v_1,...,v_k, w_i$ $w_i$ $w_k$ $w_{ki} = w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | = | w_{i} - 1 / n \sum_{k} (w_{k i} + w_{i}) | = | \sum_{k \neq i} \frac{w_{k i}}{n} |

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| = |w_i - 1/n\sum_k (w_{ki} + w_i)| = |\sum_{k\neq i} \frac{w_{ki}}{n}|$

Ogni è superiore delimitata dalla lunghezza del percorso più breve da a dal presupposto che per ogni . Pertanto, otteniamo il limite banale: $w_{ki}$ $i$ $k$ $w_i - w_j \leq 1$ $i,j\in E$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | \leq \frac{(n - 1)}{n} D

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| \leq \frac{(n-1)}{n} D$

Questo potrebbe non essere in realtà troppo lontano dall'ottimale. Sto pensando di una completa albero ario in cui i nodi di ogni livello hanno un peso maggiore di uno rispetto al peso del livello precedente. Una grande parte del grafico ha il peso più elevato, . Quindi, la media dovrebbe essere inclinata verso l'alto. Come e ottenere più grande, mi aspetto di avvicinarsi sempre di più a il che significa che lo squilibrio dovrebbe avvicinarsi sempre di più a . $k$ $D+1$ $k$ $n$ $m$ $D+1$ $D$

— Nicholas Ruozzi
fonte

Per quanto ne so, la costruzione delineata qui può essere resa rigorosa, per ottenere uno squilibrio il più vicino possibile a . Tuttavia, poiché la domanda non specifica cosa succede quando i vertici non sono adiacenti, una costruzione più semplice è un grafico completamente disconnesso con vertice avente peso e tutti gli altri vertici con peso . Questo ha un peso medio che è anche il suo massimo squilibrio. Questo chiaramente può essere reso arbitrariamente vicino a scegliendo una abbastanza grande , e può essere reso grande quanto si desidera.

D < \infty

$D<\infty$

0

$0$

0

$0$

k

$k$

k (n - 1) / n

$k(n-1)/n$

k

$k$

n

$n$

k

$k$

— András Salamon,

@ András Salamon: buon punto. La risposta sopra presuppone che il dato grafico sia collegato. Lo modificherò per chiarirlo.

G

$G$

— Nicholas Ruozzi,

Ho aggiunto il vincolo "connesso" alla mia domanda, poiché era quello che avevo in mente. La risposta qui presenta un limite a . Inoltre, quando ho chiesto il caso "peggiore", avevo in mente che il grafico sarebbe stato risolto e avrei cercato di trovare il caso peggiore per quel particolare grafico.

| | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_\infty$

— Lagerbaer,