Buoni codici decodificabili da circuiti di dimensioni lineari?

Sto cercando codici di correzione degli errori del seguente tipo:

codici binari a tasso costante,
decodificabile da una frazione costante di errori, da un decodificatore implementabile come circuito booleano di dimensione , dove è la lunghezza di codifica. $O(N)$ $N$

Alcuni retroscena:

Spielman, in Codici di correzione errori codificabili e decodificabili a tempo lineare , ha fornito codici decodificabili in tempo nel modello RAM a costo logaritmico , e anche decodificabili con circuiti di dimensioni . $O(N)$ $O(N \log N)$
Guruswami e Indyk hanno dato una costruzione migliorata in codici di codifica / decodifica a tempo lineare con tasso quasi ottimale . Non analizzano la complessità del circuito risultante, anche se credo che sia anche . $\Theta(N \log N)$

Grazie in anticipo!

co.combinatorics it.information-theory coding-theory

— Andy Drucker
fonte

Andy, per coincidenza, ho anche riscontrato questo problema circa un anno fa e dopo una breve ricerca, ho concluso che la domanda era aperta. Quindi, sono anche curioso di sapere se una risposta è conosciuta.

— arnab,

Questo rapporto ECCC è appena uscito. Non ho controllato, ma mi aspetto che fornisca anche il circuito

Θ (N \log N)

$\Theta(N \log N)$

— Peter Shor,

La decodifica

realizzabile nel modello AWGN o nel modello binario?

O (N)

$O(N)$

— T ....

Buoni codici binari che sono completamente lineari di tempo (

) codificabili e decodificabili e raggiungono un tasso di errore

cui

è la lunghezza del blocco del codice richiede probabilmente un'idea fondamentalmente nuova. Il migliore finora è sulla falsariga del teorema

in arxiv.org/pdf/1304.4321v2.pdf . Vediamo se qualcuno migliora il tempo di codifica e decodifica da a in che credo dovrebbe essere possibile (anche con ). Tuttavia, portando a

O (N)

$O(N)$

2^{- N}

$2^{-N}$

N

$N$

1

$1$

2^{- N^{0.49}}

$2^{-N^{0.49}}$

2^{- N^{1 - μ}}

$2^{-N^{1-\mu}}$

N^{1 + ϵ}

$N^{1+\epsilon}$

μ = 0

$\mu=0$

ϵ

$\epsilon$

0

$0$ potrebbe essere necessario più di qualche trucco.

— T ....

Dai un'occhiata ai codici Expander. Questi codici ottengono una codifica e decodifica temporale lineare. La linearità viene scritta in base alla dimensione della parola in codice. Ma non sono sicuro che possano essere decodificati usando circuiti lineari.

— Vivek Bagaria,

$R$ $\epsilon>0$ $n$ $(1-R)(1-\epsilon)$ $n \ln \frac{1}{\epsilon}$

{1} Luby, Michael G., et al. "Pratici codici resilienti alle perdite." Atti del ventinovesimo simposio annuale ACM sulla teoria dell'informatica. ACM, 1997: http://www.eecs.harvard.edu/~michaelm/NEWWORK/postscripts/losscodes.pdf

— Ari Trachtenberg
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