Problemi decidibili "naturali" noti per non essere in NP.


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Ogni volta che insegno NP-Completezza, gli studenti chiedono "ci sono problemi noti per non appartenere a NP?"

Come risponderesti? Di solito dò loro un problema indecidibile come esempio, ma questo spesso non risulta bene: (a) se dò loro il problema di Halting pensano che sia un caso di angolo stupido, e (b) se do loro equazioni diottantine loro non capisco perché non si trova in NP (puoi verificare le soluzioni in poly-time ... basta collegarle! Ho difficoltà a disinserirle di questo approccio.)

Vorrei dare loro qualcosa come QBF come esempio, ma non esiste una separazione provata.

Suggerimenti?


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questo dovrebbe essere CW? è una grande lista ...
Suresh Venkat,

@Suresh, dipende dalla tua nozione di naturale. Dovrebbe essere breve se ci limitiamo a "naturale" abbastanza per gli studenti.
Mohammad Al-Turkistany,

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Il gioco di Go è completo per PSPACE. Il gioco della vita di Conway è indecidibile (cioè è l'equivalente di Turing Machine) ... sono questi il ​​tipo di esempi che volevi?
user834

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Decidere se un movimento è ottimale in un scacchiera si E X P T I M E - c o m p l e t e . nXnEXPTIMEcomplete
Chazisop,

2
@chazisop non è noto se contiene correttamente N P . EXPTIMENP
Mark Reitblatt,

Risposte:


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Una possibilità è un problema completo di EXPSPACE. NP è banalmente in PSPACE, che è strettamente contenuto in EXPSPACE. Un problema completo di EXPSPACE è decidere se un'espressione regolare che consente l'espiazione è tutta Σ .


Cosa significa la tua notazione ? L(R)=L(RRR)
Neel Krishnaswami,

Generalizza la quadratura (prendendo esattamente due copie). Si noti che la chiusura di Kleene prende arbitrariamente molte copie
Suresh Venkat,

1
Quindi è uguale a ? O sono incluse infinite ripetizioni? L(R)=nNL(Rn)
Neel Krishnaswami,

Non penso che siano incluse infinite ripetizioni.
Suresh Venkat,

Grazie e scusa per l'orribile pedanteria. L'uso di solito è chiaro nel contesto, ma non ne avevo. :)
Neel Krishnaswami il

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Dato che stai enfatizzando i problemi naturali, qui c'è un problema completo, che non si trova in N P : Square Tiling Problema: dato un set di tessere finite, piastrella un quadrato di dimensione 2 n x 2 n ?NEXPNP2n2n

Si noti che quando la dimensione quadrata è x n ( n è codificato in unario), il problema diventa N P- completo.nnnNP

Per la completezza di della piastrellatura quadrata, controllare il riferimento.NEXP

[1] Christos H. Papadimitriou. Complessità computazionale. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1994


Affascinante. Quindi piastrellare un quadrato di dimensioni , dove n è rappresentato in unario, è NP-completo; e piastrellare un quadrato di 2 n × 2 n , dove n è rappresentato in binario, è NEXP completo. È questa l'idea? Si sa qualcosa sulla complessità della piastrellatura di un quadrato n × n dove n è rappresentato in binario? O intendevi dire che n è rappresentato in unario anche per la prima frase della tua risposta? n×nn2n×2nnn×nnn
DW

Sì per la tua ultima domanda.
Mohammad Al-Turkistany,

La piastrellatura quadrata è NEXP completa quando n è rappresentato in binario. n×nn
Mohammad Al-Turkistany,

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Qualsiasi problema completo per o 2 E X P T I M E è noto per non essere in N P (secondo il teorema della gerarchia temporale). Allo stesso modo per N E X P S P A C E ed E X P S P A C ENEXPTIMEEXPTIMENPNEXPSPACEEXPSPACE(per gerarchia spaziale + simulazione). Spesso si ottengono problemi "falsi" tramite il riempimento, ma i problemi naturali completi per queste classi non sembrano essere così comuni (probabilmente perché sono così incredibilmente difficili!), Ma eccone alcuni:

EXPSPACE:
equivalenza di espressioni regolari con operatore esponenziale

2-EXPTIME:
Soddisfacibilità per CTL * (una logica temporale)
Soddisfacibilità per ATL *
Problema decisionale per l'aritmetica di Presburger


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Anche l'aritmetica di Skolem, che è aritmetica con moltiplicazione ma non aggiunta, è anche decidibile. Il fatto che tu possa decidere la teoria del primo ordine di uno, ma non di addizione e moltiplicazione, mi sembra un fatto abbastanza importante.
Neel Krishnaswami,


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Per teorema della gerarchia temporale , seg(n) è una funzione costruibile nel tempo e f(n+1)=o(g(n)), poi:

NTIME(f(n))NTIME(g(n)).

Quindi, ad esempio, qualsiasi problema completo di NEXP non si trova in NP. Citando da Wikipedia :

Una serie importante di problemi NEXPTIME completi riguarda i circuiti succinti. I circuiti succinti sono semplici macchine utilizzate per descrivere i grafici in uno spazio esponenzialmente inferiore. Accettano due numeri di vertice come input e output se c'è un bordo tra loro. Se la risoluzione di un problema su un grafico in una rappresentazione naturale, come una matrice di adiacenza, è NP-completa, la risoluzione dello stesso problema su una rappresentazione di circuito succinta è NEXPTIME-completa, poiché l'ingresso è esponenzialmente più piccolo. Come semplice esempio, trovare un percorso hamiltoniano per un grafico così codificato è NEXPTIME-complete.

Vedi anche la sezione "Problemi succinti" a pagina 492 del libro di Papadimitriou .



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Un sistema di canali è un insieme di automi finiti con canali di comunicazione su cui possono inviare messaggi. Un messaggio è una lettera di un alfabeto. In un sistema di canali con perdita di dati, i messaggi possono essere eliminati: una lettera inviata su un canale può scomparire. Il problema della raggiungibilità per i sistemi di canali con perdita è decidibile ma non primitivo ricorsivo.

Per un esempio più delicato, il problema della raggiungibilità per i sistemi di addizione vettoriale è EXPSpace difficile.

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