Trovare un modello finito

So che la domanda "fa una formula del primo ordine ha un modello" è indecidibile in generale.$\phi$

Qualcuno potrebbe darmi un link o un libro che dia la risposta per i modelli finiti. Se ho una formula del primo ordine , è decidibile se ϕ abbia un modello finito? Sono abbastanza sicuro che la domanda sia ben nota, ma non so nemmeno da dove iniziare la ricerca di una risposta. (Ad esempio, mi sarei aspettato che fosse in "Elementi di teoria dei modelli finiti" di Libkin, ma sembra che non riesca a trovarlo.)$\phi$$\phi$

La seconda parte della mia domanda è: esistono restrizioni note tali che il problema è decidibile?

Ad esempio, il problema può diventare decidibile per la formula del primo ordine con solo predicati monadici. O quando abbiamo un predicato monadico più una relazione successiva. Ma non riesco a immaginare un algoritmo per decidere se esiste un modello (finito) su tali restrizioni.

La prima parte della tua domanda riceve risposta dal teorema di Trakhtenbrot . La seconda parte è davvero una domanda piuttosto ampia. A seconda della struttura relazionale su cui stai lavorando, possono essere fornite più soluzioni. Ad esempio, se sei interessato a linguaggi formali, MSO su strutture di parole corrisponde a linguaggi regolari e la logica di corrispondenza ( vedi questo ) corrisponde a CFL, e quindi il loro problema di soddisfacibilità è decidibile.

Dovresti dare un'occhiata al capitolo 14 di Libkin, in cui è dimostrato che bei segmenti di FO presentano un problema di soddisfabilità decidibile, in base alla quantità di alternanze quantificabili consentite.

Non conosco la risposta per frammenti di FO arbitrari. La logica modale classica e le sue estensioni hanno diverse proprietà di decidibilità. Con le traduzioni standard, ottieni frammenti di logica classica che condividono queste proprietà.

1. Logica modale e frammento invariante di bisimulazione di FOL a due variabili.
2. CTL * e il frammento invariante della bisimulazione della logica del percorso monadico.
3. Il mu-calcolo e il frammento invariante della bisimulazione della logica monadica del Secondo Ordine.

Tutte le logiche modali sopra sono decidibili e hanno la proprietà del modello finito. Altre logiche con solide proprietà di decidibilità sono il frammento custodito di FO, il frammento vagamente custodito e le logiche a punto fisso custodito. Queste logiche sono state progettate per trasferire l'essenza delle proprietà ben comportate delle logiche modali in un'impostazione logica classica. La logica a punto fisso custodito è decidibile ma non ha la proprietà del modello finito.

Ciò che segue non dovrebbe essere preso come una qualsiasi verità da manuale magistrale, ma solo suggerimenti per ulteriori ricerche. Gli editori sono invitati a apportare correzioni quando lo ritengono opportuno.

Innanzitutto, la tua domanda è apparentemente di interesse per la comunità della detrazione automatizzata. William McCune ha un programma chiamato Mace4 che cerca modelli finiti. Potresti voler leggere la documentazione che descrive come è fatto.

Per quanto riguarda le restrizioni decidibili specifiche, potresti voler esaminare quanto segue:

1. Casi in cui l' Universo Herbrand è finito. Un modo meccanico per verificare la presenza di un sottoinsieme di questi casi è verificare se la formula ha simboli di funzione. In caso contrario, l'Universo Herbrand è finito.

2. Casi in cui è possibile l' eliminazione di Quantifier : theory.stanford.edu/~tingz/talks/qe.ps

Oltre alle risposte già fornite: un ottimo riferimento alla (non) decidibilità dei frammenti della logica del primo ordine è il libro Il problema decisionale classico di Börger, Grädel e Gurevich