Grafico planare attraverso l'intersezione di cose grasse?

C'è un bellissimo teorema di Koebe (vedi qui ) che afferma che qualsiasi grafico planare può essere disegnato come un grafico baciante di dischi (molto romantico ...). (Mettendolo in modo leggermente diverso, qualsiasi grafico planare può essere disegnato come grafico di intersezione dei dischi.)

Il teorema di Koebe non è molto facile da dimostrare. La mia domanda: esiste una versione più semplice di questo teorema in cui al posto dei dischi si può usare qualsiasi forma convessa grassa (la convessità potrebbe essere aperta alle negoziazioni, ma non alla grassezza). Nota che ogni vertice può avere una forma diversa.

Grazie...

Precisazione: Per una forma , lasciate R ( X ) è il raggio del più piccolo palla racchiude di X , e lasciare che r ( X ) mi lasciare che il raggio della sfera grande racchiuso in S . La forma S è -fat se . (Questa non è l'unica definizione di grasso, BTW.)$X$$R(X)$$X$$r(X)$$S$$S$$\alpha$$R(x) /r(x) \leq \alpha$

Non hai detto che gli oggetti grassi dovevano essere bidimensionali, vero? Felsner e Francis dimostrano che è sempre possibile con cubi paralleli agli assi in 3d . Ma la prova coinvolge le generalizzazioni di Schramm di Koebe-Thurston-Andreev, quindi non è esattamente un risultato più semplice. Inoltre menzionano lungo la strada che per i grafici planari massimi a quattro connessioni è possibile usare triangoli equilateri a lati paralleli.

Se usi i triangoli, puoi farlo. Forse non più facile di Koebe però ...

de Fraisseix, Ossona de Mendez e Rosenstiehl. Sui grafici a contatto triangolari. CPC 3 (2): 233-246, 1994.

Schramm ha dimostrato che ogni grafico planare è il grafico di contatto di una serie di oggetti lisci convessi nel piano nella sua tesi di dottorato (Princeton, 1990) usando il Teorema del punto fisso di Brouwer.

Un bel sondaggio su questo e altri risultati relativi al teorema di Koebe è in un sondaggio di Sachs .

$K_4$

C'è un nuovo articolo sull'Arxiv di Duncan, Gansner, Hu, Kaufman e Kobourov sulle rappresentazioni dei grafici di contatto. Mostrano che i poligoni a 6 lati sono necessari e sufficienti. Gli esagoni possono essere convessi, ma in una prima lettura non mi è stato chiaro se fossero anche grassi.

Gerd Wegner nella sua tesi di dottorato (Georg-August-Universität, Göttingen, 1967) ha dimostrato che qualsiasi grafico è il grafico di contatto di un insieme di polipropilene convessi tridimensionali (ma attribuisce la prima prova inedita del risultato a Grünbaum). Questa è una breve prova.