Progressi sul problema generalizzato dell'altezza delle stelle?

L'altezza (generalizzata) delle stelle di una lingua è la nidificazione minima delle stelle di Kleene richiesta per rappresentare la lingua con un'espressione regolare estesa. Ricorda che un'espressione regolare estesa su un alfabeto finito soddisfa quanto segue: $A$

(1) e sono espressioni regolari estese per tutti $\emptyset, 1$ $a$ $a\in A$

(2) Per tutte le espressioni regolari estese ; , , ed sono espressioni regolari estese $E,F$
$E\cup F$ $EF$ $E^*$ $E^c$

Una frase del problema dell'altezza della stella generalizzata è se esiste un algoritmo per calcolare l'altezza della stella generalizzata minima. Per quanto riguarda questo problema, ho alcune domande.

Ci sono stati progressi recenti (o interessi di ricerca) riguardo a questo problema? So diversi anni fa che Pin Straubing e Thérien hanno pubblicato alcuni articoli in questo settore.
Il problema dell'altezza stellare limitata è stato risolto nel 1988 da Hashiguchi ma la versione generalizzata (per quanto ne so) è ancora aperta. Qualcuno ha qualche intuizione sul perché questo potrebbe essere il caso?

Un collegamento che potrebbe essere utile è il seguente: starheight

fl.formal-languages lower-bounds regular-expressions

— confusedmath
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Sarebbe utile una chiara definizione di "espressione regolare estesa" o un collegamento. Anche i collegamenti ai documenti citati aiuterebbero a chiarire la questione

— Suresh Venkat,

@Suresh Dato un alfabeto finito A, le espressioni regolari estese sono definite da:

per ogni

sono espressioni regolari estese. Inoltre, unione, concatenazione, complemento e stella sono espressioni regolari estese. Fondamentalmente solo aggiungendo complemento. Un link che potrebbe essere utile è il seguente: liafa.jussieu.fr/~jep/PDF/StarHeight.pdf

\emptyset, 1, a

$\emptyset, 1, a$

a \in A

$a\in A$

— confusedmath

AFAIK, Pin aggiorna la sua pagina web ( liafa.jussieu.fr/~jep/Problemes/starheight.html ), il che non significherebbe alcun progresso.

— Michaël Cadilhac,

grazie: ancora meglio sarebbe incorporarlo nella domanda.

— Suresh Venkat,

Nei commenti precedenti, "liafa.jussieu.fr" dovrebbe essere sostituito "www.liafa.univ-paris-diderot.fr". Ho modificato il collegamento nella domanda, ma non ho potuto modificare i collegamenti nei commenti.

— J.-E.

Risposte:

$k$ $k\ge 0$

Al contrario, dopo circa cinquant'anni, non sappiamo se esiste almeno un linguaggio regolare dell'altezza delle stelle. Quindi non sappiamo nemmeno se sia necessaria una procedura decisionale dopo tutto. Questa "completa mancanza di esempi" indica che è estremamente difficile comprendere questo problema.

— Hermann Gruber
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Conosci alcune applicazioni / aree che sarebbero direttamente interessate dalla scoperta di un vero algoritmo? (diverso da un punto di vista puramente intellettuale)

— confusedmath

0

$0$

1

$1$

È probabile che l'altezza stellare limitata venga presto applicata in un lavoro sui costi di approssimazione dei componenti nei sistemi di comunicazione. (nessun riferimento ancora dispiaciuto)

— Denis

Questa risposta è dedicata alla memoria di Janusz (John) Antoni Brzozowski, deceduto il 24 ottobre 2019.

John è sicuramente la persona che ha reso così famosi i problemi dell'altezza delle stelle. In effetti, durante una conferenza a Santa Barbara nel dicembre 1979, presentò una selezione di sei problemi aperti sulle lingue normali e menzionò altri due argomenti nella conclusione del suo articolo [1]. Questi sei problemi aperti erano, in ordine, l'altezza della stella, l'altezza della stella limitata, la complessità del gruppo, la rimozione della stella, la regolarità delle classi non conteggianti e l'ottimalità dei codici prefissi. Gli altri due argomenti riguardavano il problema della limitatezza e la gerarchia della profondità dei punti.

Nel giugno 2015, durante una conferenza di un giorno in onore del suo ottantesimo compleanno , ho presentato due articoli di indagine che sintetizzano lo stato dell'arte su queste domande [2, 3]. In particolare, troverai in [2] informazioni dettagliate sui problemi di altezza delle stelle.

[1] JA Brzozowski, Problemi aperti sulle lingue normali , nella teoria del linguaggio formale. Prospettive e problemi aperti, Atti di un simposio tenutosi a Santa Barbara, California, 10-14 dicembre 1979 [, RV Book (ed.), Pp. 23–47, New York ecc.: Academic Press, una filiale di Harcourt Brace Jovanovich, editori. XIII, 454 p., 1980.

[2] J.-É. Pin, Problemi aperti sulle lingue normali, 35 anni dopo , Stavros Konstantinidis; Nelma Moreira; Rogério Reis; Jeffrey Shallit. Il ruolo della teoria nell'informatica - Saggi dedicati a Janusz Brzozowski, World Scientific, 2017,

[3] J.-É. Pin, la gerarchia della profondità dei punti, 45 anni dopo . Stavros Konstantinidis; Nelma Moreira; Rogério Reis; Jeffrey Shallit. Il ruolo della teoria nell'informatica - Saggi dedicati a Janusz Brzozowski, World Scientific, 2017.

— J.-E. perno
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Grazie per averlo condiviso: ho appena appreso dalla tua risposta che è morto.

— Hermann Gruber,

La soluzione del problema limitato dell'altezza delle stelle ha ispirato la ricca teoria delle normali funzioni di costo (di Colcombet), che a sua volta ha contribuito a risolvere altri problemi di decidibilità e offre nuovi strumenti per attaccare i problemi aperti. Questa teoria è ancora in via di sviluppo ed è stata estesa a parole infinite, alberi finiti, alberi infiniti, con una propria serie di risultati profondi e problemi aperti. Ecco un documento fondamentale della teoria e una bibliografia , dal sito Web di Colcombet.

Quindi, sebbene non sia direttamente un'applicazione dell'altezza stellare generalizzata, mostra che progredire su problemi apparentemente inutili come l'altezza stellare può significare probabilmente una migliore comprensione delle lingue regolari e produrre nuovi risultati su problemi diversi.

Riferimento: Thomas Colcombet. "La teoria dei monoidi di stabilizzazione e delle funzioni di costo regolari". In: ICALP 2009

— Denis
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