Conseguenze di

Come amatore del TCS, sto leggendo materiale molto popolare e molto introduttivo sull'informatica quantistica. Ecco le poche informazioni elementari che ho imparato finora:

1. I computer quantistici non sono noti per risolvere i problemi NP-completi in tempi polinomiali.
2. "La magia quantistica non sarà abbastanza" (Bennett et al. 1997): se buttate via la struttura del problema e considerate lo spazio di possibili soluzioni, allora anche un computer quantistico ha bisogno di circa $2^n$ passaggi per trovare quello corretto (usando l'algoritmo di Grover)$\sqrt{2^n}$
3. Se viene mai trovato un algoritmo di tempo polinomiale quantistico per un problema NP completo, esso deve sfruttare la struttura del problema in qualche modo (altrimenti bullett 2 sarebbe contraddetto).

Ho alcune domande (di base) che nessuno sembra aver fatto finora su questo sito (forse perché sono di base). Supponiamo che qualcuno trova un algoritmo quantistico limitata errore tempo polinomiale per (o qualsiasi altro problema NP-completo), mettendo così S A T in B Q P , e implicando N P ⊆ B Q P .$SAT$$SAT$$BQP$$NP \subseteq BQP$

Domande

1. Quali sarebbero le conseguenze teoriche di una tale scoperta? Come sarebbe influenzato il quadro generale delle classi di complessità? Quali classi diventerebbero uguali a quali altre?
2. Un risultato del genere sembrerebbe suggerire che i computer quantistici avevano un potere intrinsecamente superiore rispetto ai computer classici. Quali sarebbero le conseguenze di un risultato come quello sulla fisica? Emanerebbe un po 'di luce su qualsiasi problema aperto in fisica? La fisica sarebbe cambiata dopo un risultato simile? La legge della fisica come la conosciamo sarebbe influenzata?
3. La possibilità (o meno) di sfruttare la struttura del problema in modo sufficientemente generale (cioè indipendente dall'istanza specifica) sembra essere il vero nucleo della questione P = NP. Ora, se viene trovato un algoritmo quantico a tempo polinomiale di errore limitato per , e deve sfruttare la struttura del problema, la sua strategia di sfruttamento della struttura non sarebbe utilizzabile anche nello scenario classico? Esistono prove che indicano che un tale sfruttamento della struttura può essere possibile per i computer quantistici, pur rimanendo impossibile per quelli classici?$SAT$

Non proverò a rispondere alla prima domanda, dato che qualcuno come Scott Aaronson, Peter Shor o John Watrous può senza dubbio darti una risposta molto più completa su questo fronte.

Per quanto riguarda la domanda 2, è importante notare che i computer quantistici sono in effetti più potenti dei computer classici in molti casi:

1. Vi è una accelerazione polinomiale piuttosto generica ottenuta dai computer quantistici rispetto ai computer classici in una serie di problemi. Da un punto di vista della complessità, questo è forse un po 'meno interessante di una accelerazione esponenziale, ma è qualcosa che possiamo effettivamente dimostrare.
2. La complessità della comunicazione quantistica può spesso variare notevolmente dalla complessità della comunicazione classica per lo stesso problema. Ancora una volta, questo è qualcosa che può essere provato (vedi ad esempio il gioco Mermin-GHZ).
3. Le query quantistiche agli oracoli sono molto spesso molto più potenti delle query classiche sullo stesso oracolo (vedere ad esempio l'algoritmo Deutsch-Josza).

Con questo in mente, è già noto che i computer quantistici sono fondamentalmente più potenti dei computer classici. Penso che avrei ragione nel dire che la maggior parte dei fisici che lavorano su queste cose già presumono che non sia possibile trovare un algoritmo classico per simulare in modo efficiente ogni sistema quantico, e così mentre un risultato mostra che NP era contenuto in BQP sarebbe certamente sorprendente, non sarebbe particolarmente probabile fornire una svolta nella comprensione di un particolare fenomeno fisico. Piuttosto fornirebbe prove in qualche modo più forti che la fisica quantistica è difficile da simulare.

Non esiste una fisica fondamentale che dipenda dalla complessità computazionale della simulazione, quindi trovare un algoritmo quantistico efficiente per un problema NP-completo non avrebbe conseguenze fondamentali per la correttezza della nostra attuale comprensione di come funziona l'universo (sebbene io sia propenso concordare con il suggerimento di Scott Aaronson secondo cui è interessante vedere se si potrebbero far emergere leggi fisiche da ipotesi computazionali).

È estremamente allettante affermare che ciò avrebbe conseguenze sull'evoluzione adiabatica dei sistemi quantistici (e immagino che potresti ricevere una o due risposte che suggeriscono che), ecc., Ma ciò non sarebbe corretto, poiché sono regolati da uno specifico processo fisico e dimostrando così che in linea di principio è possibile risolvere il SAT in un tempo polinomiale su un computer quantistico, non direi nulla della loro specifica evoluzione.

Per quanto riguarda la tua ultima domanda, abbiamo già degli esempi in cui la struttura del problema viene sfruttata per produrre un algoritmo quantistico polinomiale, ma che non porta a un algoritmo così classico (factoring per esempio). Quindi, per quanto riguarda la nostra attuale comprensione, un problema con una struttura sfruttabile per produrre un algoritmo quantistico a tempo polinomiale non implica che la struttura sia sfruttabile per produrre un algoritmo a tempo polinomiale classico.

A Scott Aaronson piaceva spesso sottolineare (e probabilmente è ancora interessato a sottolineare, supponendo che non si sia stancato di farlo) che i processi fisici non trovano sempre il minimo globale di un panorama energetico . In particolare, se si dovesse formulare un'istanza di un problema di optmizzazione completa NP come un problema di minimizzazione dell'energia per un sistema fisico, non vi è motivo, né teorico né empirico, di credere che un tale sistema fisico si "rilasserà" dopo un po 'di tempo per una soluzione del problema ( ovvero  una configurazione energetica che è un minimo globale). Molto probabilmente si rilasserà a un minimo locale: uno per il quale configurazioni leggermente diverse richiedono più energia, ma dove una configurazione sostanzialmente diversa può avere meno energia.

Quindi, pur dimostrando NP  ⊆  BQP sarebbe un trionfo del primo ordine - per tutti i teorici della complessità, non solo per i teorici del calcolo quantistico - suggerirebbe che esiste una teoria completamente nuova di modelli "fisici" di calcolo in attesa di essere scoperta. Perché? Bene, i modelli di calcolo possono essere interpretati come modelli di fisica (anche se altamente specializzati): vale a dire, quali risorse computazionali sono fisicamente ragionevoli. Una delle 'parole d'ordine' di computazione quantistica è che Nature isn't classical, [darn] it^† - quindi a meno che è possibile simulare la meccanica quantistica su un computer classico, quello che si può fisicamente calcolare in modo efficiente è quasi certamente più potente di P . Eppure, abbiamo prove che è meno potente di NP; quindi dovrebbe essere anche meno potente di BQP , se accadesse che NP  ⊆  BQP .

Quindi, una prova di NP  ⊆  BQP ci presenterebbe un trilemma: neanche

1. i circuiti quantistici possono essere simulati in modo efficiente su un computer classico, dimostrando NP  ⊆  BQP  ⊆  P , superando in tal modo i sogni o gli incubi più selvaggi di ogni teorico;
2. i circuiti quantistici non possono essere simulati su un computer classico, ma i computer quantistici scalabili possono essere costruiti per risolvere problemi in NP , dando origine a un interesse veramente esplosivo nel calcolo quantistico e garantendo che i fisici sperimentali abbiano la sicurezza della carriera per il prossimo futuro;
3. esiste un altro modello di calcolo in attesa di essere scoperto, intermedio tra P e BQP in potenza, che descrive (o meglio, migliori approssimativi ) ciò che è calcolabile fisicamente in modo efficiente.

Ho il sospetto che i soldi intelligenti sarebbero al n. 3, tanto divertenti quanto il n. 1 o il n. 2 sarebbero da una prospettiva accademica.

^†  Scusandosi con Feynman, che sospetto spesso non tritava le sue maledizioni.