Decomposizione modulare e larghezza della cricca

Sto cercando di comprendere alcuni concetti sulla decomposizione modulare e sui grafici a larghezza di cricca .

In questo articolo ("Sui grafici P4-ordinati"), c'è una prova di come risolvere i problemi di ottimizzazione come il numero di cricca o il numero cromatico usando la decomposizione modulare. Risolvendo questi problemi componendo (usando la somma disgiunta o l'unione disgiunta) due grafici G1, G2 è facile quando si conosce la risposta per G1 e G2. Poiché i grafici primi sulla decomposizione dei grafici ordinati in P4 sono grafici limitati (cioè C5, P5, ecc.), È facile risolverlo per questi "casi base" e quindi risolverlo per le composizioni. Quindi utilizzando l'albero di decomposizione è possibile risolvere questi problemi in tempo lineare.

Ma sembra che questa tecnica funzionerebbe con qualsiasi classe di grafi tale che i grafi primi siano limitati. Poi ho trovato questo documento "Problemi di ottimizzazione risolvibili a tempo lineare sui grafici della larghezza della cricca rilegata" che sembra rendere la generalizzazione che stavo cercando ma non riuscivo a capirlo molto bene.

La mia domanda è:

1- È equivalente a dire che i grafici primi dell'albero di decomposizione sono limitati (come nel caso dei grafici ordinati P4) e dire che un grafico ha la proprietà "Larghezza della cricca" delimitata?

2- Nel caso in cui la risposta per 1 sia NO, allora: esiste qualche risultato sulle classi di grafici con limiti di grafi (come nei grafici P4-ordinati) e quindi problemi di ottimizzazione come il numero di cricca risolvibile sul tempo lineare su tutte queste classi ?

qui troverai un testo introduttivo sulla larghezza della cricca (in breve CWD): limiti superiori alla larghezza della cricca dei grafici (B. Courcelle e S. Olariu, DAM 101). Puoi trovare risultati più recenti in questo sondaggio: Recenti sviluppi sui grafici della larghezza della cricca limitata (M. Kaminski, V. Lozin, M. Milanic, DAM 157 (12): 2747-2761 (2009))

Cwd è una misura di complessità basata su operazioni grafiche che generalizzano la concatenazione di parole. I grafici numerabili infiniti possono avere limiti di cwd. Dirai che un insieme (possibilmente infinito) di grafici (finito o numerabile) ha delimitato cwd se esiste una costante k tale che qualsiasi grafico in questo insieme ha al massimo kwd. Ad esempio, i grafici completi hanno cwd 2, i grafici ereditari a distanza cwd al massimo 3, ...

1) Il collegamento tra cwd e modular-dec è il seguente: cwd (G) = max {cwd (H) | H primo nel dec modulare di G}. Quindi, si può dire che la CWD generalizza il fatto che "i grafici primi hanno delimitato le dimensioni". Puoi avere grafici con numeri primi di dimensioni illimitate ma con cwd limitato.

2) se la dimensione dei grafici primi è limitata, la CWD è limitata. I risultati nel documento che citi dicono che qualsiasi problema esprimibile in MSOL può essere risolto in modo efficiente in classi di grafici di CWD limitato. Questa serie di problemi include molti problemi NP-completi: numero di cricca, numero stabile, 3 colorabilità, ...

Alcuni aspetti algoritmici del dec modulare sono studiati qui "Un sondaggio sugli aspetti algoritmici della decomposizione modulare" (M. Habib e C. Paul, Computer Science Review 4 (1): 41-59 (2010))