Risolvere un labirinto tramoggia numero

Il mio bambino di 8 anni si è annoiato creando labirinti convenzionali e ha iniziato a creare varianti che assomigliano a questo:

Campione numero tramoggia

L'idea è di iniziare da x e raggiungere o tramite le normali regole. Inoltre, è possibile "saltare" da qualsiasi numero intero qualsiasi altro numero intero , ma si deve pagare dollari per il privilegio. L'obiettivo è risolvere il labirinto al minor costo. Nell'esempio sopra, potremmo passare da x a o via x-14-18-27-28-o al costo 5, ma è più economico andare x-13-11-9-8-29-28-o solo 4. $a$ $b$ $|a-b|$

Quindi, ecco la mia domanda: qual è la migliore soluzione (in termini di tempo di esecuzione asintotico) che puoi pensare per risolvere questo? È possibile formulare ipotesi ragionevoli sul formato di input.

Nota: sto usando il tag "puzzle" qui perché ho in mente una risposta , ma non sono sicuro che sia ottimale e vorrei vedere se qualcun altro può migliorare la mia soluzione. (Qui è il numero di numeri interi nel labirinto.) $O(n^2)$ $n$

ds.algorithms optimization puzzles

— Fixee
fonte

Prop a tuo figlio per aver creato puzzle così creativi e matematici!

— Bbejot,

@bbejot Dovresti vedere alcune delle cose che mi chiede ... a volte non riesco a rispondere alle sue domande. Ad esempio, math.stackexchange.com/questions/33094/…

— Fixee,

Non sono sicuro che i calcoli dei costi siano corretti. x-14-18-27-28-o dovrebbe costare

e x-13-11-9-8-29-28-o dovrebbe costare

4 + 9 + 1 = 14

$4 + 9 + 1 = 14$

2 + 2 + 1 + 21 + 1 = 27

$2 + 2 + 1 + 21 + 1 = 27$

— Dave Clarke,

@Dave non tutte le transizioni sono salti. Potremmo scrivere 'ab' per i salti (che hanno un costo di

) e 'a-> b' per camminare nel grafico da a a b (che ha un costo di

), che è consentito solo se sono raggiungibili senza rompere un muro nel labirinto. In questa notazione abbiamo x-> 14-18-> 27-28-> o e un costo di 5 e x-> 13-11-> 9-8-> 29-28-> o. Il sottile Fixee non ha introdotto questa notazione a causa della sua ridondanza: non c'è motivo di saltare due volte e così si alterneranno luppoli e passeggiate nel labirinto.

| a - b |

$|a - b|$

0

$0$

— Artem Kaznatcheev

Questo è un eccellente problema con i compiti!

— Jeffε,

Risposte:

Puoi risolverlo in tempo usando una variante dell'algoritmo di Dijkstra. Possiamo evitare di non eseguire tutti gli aggiornamenti di distanza quando visitiamo un nuovo nodo. Se visitiamo un nodo , abbiamo solo bisogno di aggiornare le distanze di tutto ciò che è percorribile da a 0 e di aggiornare le distanze ai due nodi e con i valori più vicini a minori e maggiori di che non hanno stato ancora scelto. $O(n\log n)$ $y$ $y$ $y_-$ $y_+$ $y$ $y$

Questi aggiornamenti sono sufficienti per mantenere l'heap che restituisce l'elemento minimo poiché qualsiasi nodo più vicino a cui si salta deve essere stato numericamente appena sopra o appena sotto un nodo già visitato.

$y_-$ $y_+$ $O(n \log n)$ $O(n)$ $O(n \log n)$ $O(n \log n)$

— Dave
fonte

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

x

$x$

o

$o$

2 x_{i}

$2x_i$

2 x_{i} + 1

$2x_i+1$

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

O (n l g n)

$O(n lg n)$

y_{+}

$y_+$

y_{-}

$y_-$

O (n l g n)

$O(n lg n)$

O (n \log \log n)

$O(n \log\log n)$

O (n)

$O(n)$

$O(n^2)$

Sembra naturale convertirlo nel problema del percorso più breve con uno speciale nodo iniziale (x) e finale (0). Ci sarebbe anche un altro nodo per ciascuno dei numeri. Entrambi x e 0 hanno bordi di peso 0 rispetto a tutti i nodi numerici che sono raggiungibili nel labirinto. Tutti i nodi numerici sono collegati con il peso 0 (se i numeri sono raggiungibili dal labirinto) o con la differenza tra i numeri (se non il labirinto raggiungibile).

$O(n^2)$ $n^2$ $O(n^2)$

— bbejot
fonte

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n^{2} \lg n)

$O(n^2 \lg n)$

r

$r$

O (r^{2})

$O(r^2)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

O (r^{2} + n \log n)

$O(r^2 + n\log n)$

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$