Esempi in cui la comprensione della geometria è stata utile per risolvere qualcosa di completamente non geometrico

Una delle cose belle di essersi evoluto in un universo con tre dimensioni spaziali è che abbiamo sviluppato capacità di problem solving relative agli oggetti nello spazio. Quindi, ad esempio, possiamo pensare a una tripletta di numeri come a un punto in 3-d e quindi al calcolo delle terzine di numeri come al calcolo di punti in 3-d, che possono quindi essere risolti usando la nostra intuizione sullo spazio. Ciò sembra suggerire che a volte dovrebbe essere possibile risolvere un problema completamente non geometrico utilizzando tecniche di geometria. Qualcuno sa di tali esempi?

Naturalmente, i termini "geometrico" e "non geometrico" sono leggermente vaghi qui. Si può sostenere che qualsiasi problema geometrico sia in realtà non geometrico se si sostituiscono tutti i punti con le loro coordinate. Ma intuitivamente, la definizione è chiara. Diciamo solo che chiamiamo qualcosa di geometrico se prenderemo in considerazione l'invio di un documento a riguardo al SoCG.

Alcuni altri esempi:

Sleator, Thurston e Tarjan hanno usato una rappresentazione geometrica degli alberi come partizioni di poligoni e geometria iperbolica, per dimostrare limiti inferiori per la rotazione binaria dell'albero . (Inoltre, credo che la storia di un albero dinamico di ricerca binaria possa essere rappresentata come una tetraedrica.)

La riduzione dell'antenato meno comune per l'intervallo di query minime , dovuta a Berkman e Vishkin, mette in relazione un problema di strutture dati sugli alberi con un problema discutibilmente geometrico. (e grazie per l'articolo David)

La riduzione di un problema di schedulazione a un set indipendente dal peso massimo di rettangoli asse-parallelo [1] o la riduzione di un diverso problema di schedulazione alla copertura geometrica dell'insieme [2] potrebbe essere considerata valida.

La riduzione del più grande problema di sottosequenza comune alla ricerca di strati di massimi è ben nota (il che significa che sono troppo pigro per guardare chi ci ha pensato).

[1] (Liane Lewin-Eytan, Joseph Seffi Naor e Ariel Orda)

[2] Nikhil Bansal, Kirk Pruhs. The Geometry of Scheduling, FOCS 2010.

[modifica successiva] Un altro paio di casi in cui una visione "geometrica" ​​sembrava sorprendente (anche se gli standard "sottomissione a SoCG" o "crea qualcosa da visualizzare" probabilmente non sono soddisfatti):

topologia algebrica applicata a limiti inferiori per il calcolo distribuito

incorporando la calcolabilità nella dimensione Hausdorff

definire una nozione di distanza per i gruppi, quindi volume, quindi crescita del volume in funzione della distanza, quindi usando "crescita polinomiale"

Naturalmente una risposta molto migliore della mia precedente è l'uso della teoria dell'incorporamento metrico per risolvere il taglio più raro. Un passaggio chiave nella soluzione del problema più sparso taglio era la realizzazione che potrebbe essere approssimata da trovare un buon incorporamento di una metrica generale in un spazio -normed$\ell_1$ .

Sono stati citati anche altrove, ma un esempio che mi piace è questo: l'ordinamento con informazioni parziali è il problema di trovare un'estensione lineare sconosciuta fissa di un poset, dato il poset e usare il numero di query di confronto il più vicino possibile alla teoria dell'informazione limite inferiore (questo è solo l'ordinamento quando il numero di confronti è la misura della complessità critica e alcuni confronti sono dati gratuitamente). L'esistenza di strategie di confronto ottimali (fino a una costante) è stata dimostrata da Saks e Kahn utilizzando le proprietà del polytope di ordine, uno speciale polytope associato a un poset (puoi trovare una grande esposizione nel libro Lectures on Discrete Geometry di Matousek). Il primo algoritmo temporale polinomiale (di Kahn e Kim) che calcola una strategia di confronto ottimale (fino a una costante) ha usato di nuovo le proprietà del politopo di ordine e il politopo fisso impostato stabile del grafico di incomparabilità del poset di input.

C'è un articolo relativamente recente di Demaine et al. Che utilizza una rappresentazione geometrica di alberi di ricerca binari per far avanzare lo stato dell'arte sull'ottimalità dinamica. Sono un po 'vago qui perché non risolvono la congettura DO: ma rafforzano alcuni limiti e danno alcune nuove intuizioni che sembrano provenire dalla formulazione geometrica.

Non credo che ci siano esempi di tali cose. Fatta eccezione per la programmazione lineare, la programmazione semi-definita, i numeri complessi, le grandi frazioni dell'apprendimento automatico, ecc. La vera domanda è http://www.youtube.com/watch?v=ExWfh6sGyso .

Lo scorso anno c'era un bel documento a POPL, EigenCFA: accelerare l'analisi del flusso con le GPU , che rappresentava i termini lambda come matrici e quindi utilizzava le GPU per eseguire rapidamente l'analisi del flusso di dati su di essi.

L'articolo non lo ha sottolineato esplicitamente, ma quello che stavano sostanzialmente facendo era sfruttare la struttura categorica degli spazi vettoriali per rappresentare gli alberi. Cioè, nella normale teoria degli insiemi, un albero (di qualche altezza fissa) è un'unione disgiunta nidificata di prodotti cartesiani.

Tuttavia, gli spazi vettoriali hanno anche prodotti e somme dirette, quindi puoi rappresentare un albero anche come elemento di uno spazio vettoriale adatto. Inoltre, i prodotti diretti e le somme dirette coincidono per gli spazi vettoriali, ovvero hanno la stessa rappresentazione. Questo apre le porte a implementazioni parallele: poiché le rappresentazioni fisiche sono le stesse, è possibile eliminare molte ramificazioni e inseguimenti di puntatori.

Spiega anche perché l'analisi del flusso di dati è un tempo cubico: sta calcolando autovettori!

Nel networking, i router usano i TCAM (memorie indirizzabili al contenuto ternario - in altre parole, memoria indirizzabile al contenuto con un bit non importa) per classificare il traffico. Le voci in un TCAM sono spesso regole di corrispondenza dei prefissi multidimensionali: ad esempio (101 *, 11 *, 0 *) corrisponde a qualsiasi pacchetto in cui il primo campo di intestazione inizia con 101 e il secondo campo di intestazione inizia con 11 (e ecc.) Se un pacchetto non corrisponde alla prima regola, passa alla seconda e così via fino a quando non viene trovata una regola corrispondente.

$d$$R^{d+1}$$d+1$$R^{d+1}$$d$$d+1$

Per le persone in rete, questa interpretazione è utile per capire cosa fa un insieme specifico di regole. Per i teorici, ci sono altri usi interessanti. Secondo Algorithms for Classet Packet di Gupta e McKeown, l'interpretazione geometrica ci ha permesso di stabilire rapidamente limiti inferiori e superiori per il problema della classificazione dei pacchetti. So che il lavoro sulla minimizzazione delle regole TCAM (trovare il minor numero di regole che preserva la semantica) ha anche beneficiato di un approccio geometrico. Ci sono tonnellate di riferimenti ho potuto dare per questo, ma quello che potrebbe essere di aiuto più di voi è Applegate, et al. 2007 SODA carta compressione immagini rettilineo e riducendo al minimo gli elenchi di controllo di accesso. Dimostrano che minimizzare una variante più generale delle regole di corrispondenza del prefisso sopra è NP-difficile e collegarlo (di nuovo) a belle immagini di rettangoli per risolvere il problema!

Sono sorpreso che nessuno abbia detto l' algoritmo euclideo per aver trovato il massimo fattore comune tra due numeri. Puoi affrontare il problema disegnando un rettangolo axb, quindi suddividi il rettangolo per il quadrato creato dal lato più piccolo, ripeti per il rettangolo rimanente, continua a ripetere per i rettangoli rimanenti fino a trovare un quadrato che può dividere uniformemente un rettangolo rimanente (vedi gif animate sulla pagina dell'algoritmo euclideo).

Un modo abbastanza elegante di provare a capire come funziona la cosa, IMO.

Probabilmente ci sono anche troppi esempi da elencare, ma un esempio classico (è evidenziato da Aigner e Ziegler come " Prova dal libro ") è l'uso da parte di Lovász di una rappresentazione geometrica per risolvere un problema a Shannon. Sebbene la dimostrazione sia stata pubblicata nel 1979 e abbia risolto una domanda aperta del 1956, questa rimane allo stato dell'arte.

Relazione dei codici di correzione degli errori con reticoli, imballaggio delle sfere ecc. (Ad es. Libro Conway e Sloane). Tuttavia la relazione è così forte, che non è del tutto chiaro, se dovessi chiamare i codici di correzione degli errori "completamente non geometrici" dopo quello ...

Le tecniche di riduzione reticolare, come LLL o PSLQ , sono altamente geometriche e risolvono problemi della pura teoria dei numeri, come l'approssimazione diofantea lineare e il rilevamento di relazioni intere.

$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$

Gerard Salton ha avuto l'idea di usare il coseno dell'angolo tra i vettori (somiglianza del coseno) per i sistemi di recupero delle informazioni. Questo è stato usato per calcolare la frequenza di frequenza inversa del documento. Ritengo che questo sia il predecessore dei moderni motori di ricerca. Vedi anche Modello dello spazio vettoriale.

$k$$k$

Certo, la dimostrazione è più topologica che geometrica, ma in dimensioni ridotte ha un chiaro quadro geometrico. Per quanto ne so, non esiste alcuna prova puramente combinatoria (cioè una prova che puoi spiegare a una persona che rifiuta di ascoltare qualcosa sulla topologia).

Il ruolo delle curve di riempimento dello spazio nei database e l'ottimizzazione: http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC

Supporta probabilmente la macchina vettoriale nell'apprendimento automatico.

Esistono tecniche di geometria computazionale per risolvere la programmazione lineare. Geometria computazionale: algoritmi e applicazioni ha un capitolo piacevole e semplice al riguardo.

Un integrale definito di una funzione può essere rappresentato come l'area firmata della regione delimitata dal suo grafico.