Uno dei problemi principali nell'enumerazione dei grafici è la determinazione della "forma" di un grafico, ad esempio la classe di isomorfismo di un particolare grafico. Sono pienamente consapevole che ogni grafico può essere rappresentato come una matrice simmetrica. Tuttavia, per ottenere la sua forma, avresti bisogno di una raccolta di permutazioni di riga / colonna, il che rende una matrice un po 'meno adatta. È anche un po 'più difficile' vedere 'il grafico, una volta che è in quella forma.
La mia domanda è: ci sono algebre "grafiche" che possono descrivere la "forma" dei grafici?
Quello a cui sto pensando è che tipo di sistemi formali che i topologi algebrici tendono a inventare. In particolare, cose come l'algebra per invarianti di nodi o sistemi notazionali come operadi o poligrafi . Questo tipo di "algebre scarabocchiate" non è altrettanto sviluppato, quindi forse c'è una ragione per credere che non esista tale algebra per i grafici, ma avrei pensato di chiedere prima di assumere il contrario.
AGGIORNARE:
La mia domanda è probabilmente molto ristretta e non risponde immediatamente con un "sì", quindi se i moderatori non si preoccupano, la amplierò chiedendo:
Esistono sistemi esistenti (il tipo che descrivo sopra) che potrebbero essere adattati (facilmente o in altro modo) per creare un tale sistema? Se ce n'è più di uno, sentiti libero di menzionarli tutti. E aggiungi anche quelli già menzionati.
Motivazione
La mia motivazione per una domanda del genere riguarda in realtà la classificazione dei grafici asimmetrici. Sono solo un laureando, quindi la mia recensione dello stato attuale della teoria dei grafi algebrici è piuttosto sottile. Ma devo ancora vedere molto, se del caso, lavorare nel tentativo di descrivere sistematicamente tutti i grafici in modo algebrico e, in particolare, uno che utilizza metafore visive rispetto a quelle simboliche.
Esempio pratico in cui un tale sistema sarebbe utile
Supponiamo che uno voglia descrivere una dimostrazione che tutti i grafici di Eulero devono avere vertici di grado pari. Una prova standard di solito utilizza argomenti sui gradi pari e dispari, senza menzionare i bordi effettivi utilizzati. Uno studente tipico troverebbe una tale prova per la prima volta, e probabilmente inizierebbe a disegnare grafici, tentando di convincersi dell'argomento. Ma forse uno strumento migliore del puro argomento "logico" sarebbe quello di mostrare che qualsiasi raccolta di "simboli" da un tale linguaggio non potrebbe soddisfare una condizione di "completezza".
Sì, lo so, sto agitando la mano in quest'ultima parte .. Se non lo fossi, anche se probabilmente inizierei a creare un tale sistema da solo!
Ma ignorando la mia vaghezza per un momento, ho la sensazione che molti dei vecchi e ben noti teoremi nella teoria dei grafi non siano difficili ma richiedono una concettualizzazione secondo cui un quadro davvero valido potrebbe "legare" e "impacchettare" in una visione unificata.