La diagonalizzazione cattura l'essenza della separazione di classe?

Non ricordo di aver visto una separazione di classe non basata sui risultati di diagonalizzazione e relativizzazione. La diagonalizzazione potrebbe ancora essere utilizzata per separare le classi note rimanenti, poiché gli argomenti non relativizzanti potrebbero ancora essere utilizzati nella conclusione della diagonalizzazione o nella costruzione della macchina di Turing diagonalizzata. Ecco alcune domande correlate:

Esistono prove di separazione di classe non basate sulla diagonalizzazione?

E se così fosse

Possiamo trovare un meccanismo di auto-riferimento dietro di loro?

Ulteriore,

ogni separazione di classe ha una prova "canonica naturale" (in senso informale)?

In tal caso, dovremmo cercare di trovare argomenti non relativizzanti, piuttosto che altri schemi di prova per domande aperte.

Ogni prova non diagonale può essere riscritta in una diagonale?

Dipende da come formalizzi la diagonalizzazione. Kozen ha un documento che mostra che qualsiasi separazione di classe di complessità deve essere una prova di diagonalizzazione.

Poiché la diagonalizzazione si relativizza, qualsiasi risultato di complessità che implichi relativizzazioni contraddittorie non può essere basato sulla diagonalizzazione. Citando Arora-Barak :

$O$$O \subseteq \{0, 1\}^*$

$P$$NP$$P\ne NP$

$P^{PH} \subseteq IP$

In aggiunta alla risposta di Fortnow, continuando il lavoro di Kozen, Nash, Impagliazzo e Remmel formalizzarono una nozione di forte diagonalizzazione e fornirono alcune prove che non si relativizzavano. Per rispondere parzialmente alla prima domanda, i loro risultati mostrano che alcune prove di separazione di classe non possono essere basate su una forte diagonalizzazione. Ecco l'abstract:

Definiamo e studiamo la diagonalizzazione forte e la confrontiamo con la diagonalizzazione debole, implicita in [7]. Il risultato di Kozen in [7] mostra che praticamente ogni separazione può essere rifusa come debole diagonalizzazione. Mostriamo che ci sono classi di lingue che non possono essere separate da una forte diagonalizzazione e forniamo la prova che una forte diagonalizzazione non si relativizza. Definiamo anche due tipi di diagonalizzazione indiretta e studiamo il loro potere.

Poiché definiamo una forte diagonalizzazione in termini di linguaggi universali, ne studiamo la complessità. Distinguiamo e confrontiamo linguaggi universali deboli e rigorosi. Infine analizziamo alcune varianti apparentemente più deboli delle lingue universali, che chiamiamo lingue pseudouniversali, e dimostriamo che in condizioni di chiusura deboli producono facilmente lingue universali.

1-Nash, A., Impagliazzo, R., Remmel; J. "Lingue universali e potere della diagonalizzazione". 18ª Conferenza annuale IEEE sulla complessità computazionale (CCC'03), pag. 337, 2003.

Esistono prove di separazione di classe non basate sulla diagonalizzazione?

Sì, ci sono, ma non per classi di complessità uniformi. Non abbiamo un argomento per escludere tali prove, ma finora tutte le separazioni tra classi di complessità uniformi sembrano usare la diagonalizzazione in qualche luogo.

Possiamo trovare un meccanismo di auto-riferimento dietro di loro?

Non credo che le separazioni di classe di complessità non uniformi possano essere trasformate in argomenti di "autoreferenzialità" perché non sono classi uniformi e non possono essere enumerate, e per un argomento di autoreferenziazione dobbiamo enumerare i membri della classe.

ogni separazione di classe ha una prova "canonica naturale" (in senso informale)?

Dipende da cosa intendi per "canonico". AFAIK, non vi è alcun consenso sulle risposte alla domanda "quando due prove sono sostanzialmente identiche?".

In tal caso, dovremmo cercare di trovare argomenti non relativizzanti, piuttosto che altri schemi di prova per domande aperte. Ogni prova non diagonale può essere riscritta in una diagonale?

Come altri hanno sottolineato, la risposta dipende da cosa intendi per diagonalizzazione. In senso più generale (articolo di Kozen collegato da Lance), la risposta è sì per due diverse "classi di complessità" (come definite nell'articolo di Kozen). È possibile trasformare l'argomento in un argomento di "diagonalizzazione". Ma:

1. ciò non si applica alle classi di complessità che non soddisfano i requisiti indicati nel documento di Kozen (ovvero che non sono le "classi complesse" di Kozen).
2. $P$$PSpace$
3. l'importante è che più un metodo è generale, più sono limitate le sue applicazioni (se viene utilizzato da solo) perché il metodo deve funzionare per più casi e questa è una limitazione del metodo, non possiamo usare lo specifico informazioni che abbiamo sul problema se non sono condivise o non possono essere sostituite da qualcosa di simile per altri problemi a cui vogliamo applicare il metodo.
4. Possiamo trasformare gli argomenti di separazione in argomenti di "diagonalizzazione" (considerando la restrizione che ho menzionato sopra), ma il fatto che "la funzione di diagonalizzazione separa davvero le classi" ha bisogno di una prova. L'articolo di Kozen mostra che esiste una funzione diagonale se le classi sono diverse, ma come possiamo sapere che una determinata funzione è davvero diagonale? Abbiamo bisogno di una prova! E il documento (AFAIU) non ci dà alcuna idea su come elaborare quelle prove. Se abbiamo un argomento di separazione, possiamo trasformarlo in una prova di diagonalizzazione, ma questo è solo dopoavere una prova. La prova originale servirà come parte della nuova prova di diagonalizzazione, mostrerà che la funzione è davvero diagonale. (E in un certo senso, la dimostrazione della diagonalizzazione costruita dal documento di Kozen non sarà "canonica" poiché dipenderà completamente dall'argomento originale.)