Limitazione delle voci di operatori unitari a numeri reali e set di gate universali

In Bernstein e Vazirani di carta seminale "Quantum Complexity Theory", mostrano che una trasformazione unitaria dimensionale può essere efficacemente approssimata da un prodotto di quello che chiamano "near-banale rotazioni" e "sfasamenti quasi banale".$d$

"Vicino banale rotazioni" sono -dimensional unitaria matrici che agiscono come l'identità su tutti ma 2 dimensioni, ma agisce come una rotazione nel piano attraversato da queste due dimensioni (cioè ha una sottomatrice 2x2 della forma:$d$

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

per alcuni ).$\theta$

"Sfasamenti Near-banali" sono dimensionale unitaria matrici che agiscono come l'identità su tutti, ma 1 dimensione, ma si applicano un fattore e i θ per qualche θ a quella dimensione.$d$$e^{i\theta}$$\theta$

Inoltre, mostrano che è necessario un solo angolo di rotazione (sia per gli unitari di rotazione che di sfasamento), dato che l'angolo è un multiplo irrazionale di (BV imposta l'angolo su 2 π ∑ ∞ j = 1 2 - 2 j .$2\pi$$2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}}$

Carte successive sulla teoria dei quanti complessità (come quella da Adleman et al o Fortnow e Rogers) sostengono che il risultato BV implica che universale calcolo quantistico può essere realizzato con operatori unitari i cui elementi sono in .$\mathbb{R}$

Come segue? Posso capire che un prodotto di matrici di rotazione quasi banali ti darà una matrice unitaria con voci reali, ma che dire delle matrici a spostamento di fase?

Cioè: se sei in grado di eseguire solo rotazioni quasi banali e matrici di spostamento di fase in cui le voci della matrice sono , possiamo approssimare efficacemente tutte le altre matrici di spostamento di fase?$0,\pm 1$

Ho il sospetto che questa implicazione non sia immediatamente ovvia, e la prova adeguata per esso assomiglierebbe alla prova che la porta simile a Toffoli di Deutsch è universale - o mi sto perdendo qualcosa di molto ovvio?

C'è una prova semplice che Toffoli e Hadamard sono Quantum Universal di Dorit Aharonov che mostra per primo come ampiezze complesse possono essere simulate da ampiezze reali su uno spazio di Hilbert più grande con un altro qubit.

$U$$k$$\tilde{U}$$k$$\tilde{U}$

$\tilde{U}|i\rangle |0\rangle = [Re(U)|i\rangle]|0\rangle + [Im(U)|i\rangle]|1\rangle$
$\tilde{U}|i\rangle |1\rangle = -[Im(U)|i\rangle]|0\rangle + [Re(U)|i\rangle]|1\rangle$

$\{0,1,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Oltre al documento che Martin ti ha indicato, c'era un precedente documento di Terry Rudolph e Lov Grover che mostrava che un gate a 2 rebit è universale per il calcolo quantistico (vedi quant-ph / 0210187 ). Il gate ha tutte le vere enterie e, nel caso in cui non si sia consapevoli, i rebits sono qubit in cui le ampiezze sono limitate a numeri reali. Questa potrebbe essere la fonte del reclamo. La porta in questione descritta nel documento è una rotazione Y controllata.

$G(\theta) = Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12} Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12}$