Gerarchia per BPP vs derandomizzazione

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In una frase: l'esistenza di una gerarchia per implicherebbe risultati di derandomizzazione? $\mathsf{BPTIME}$

Una domanda correlata ma più vaga è: l'esistenza di una gerarchia per implica qualche limite inferiore difficile? La risoluzione di questo problema colpisce una barriera nota nella teoria della complessità? $\mathsf{BPTIME}$

La mia motivazione per questa domanda è quello di capire la relativa difficoltà (rispetto ad altri importanti problemi aperti nella teoria della complessità) di mostrare una gerarchia per . Presumo che tutti credano che esista una tale gerarchia, ma per favore correggimi se la pensi diversamente. $\mathsf{BPTIME}$

Alcuni retroscena : contiene quelle lingue la cui appartenenza può essere decisa da una macchina di tornitura probabilistica nel tempo con probabilità limitata di errore. Più precisamente, un linguaggio se esiste una macchina Turing probabilistica tale che per ogni la macchina $\mathsf{BPTIME}(f(n))$ $f(n)$ $L \in \mathsf{BPTIME}(f(n))$ $T$ $x \in L$ $T$ viene eseguito in tempo e accetta con probabilità di almeno , e per qualsiasi , viene eseguito in tempo e scarti con probabilità almeno . $O(f(|x|))$ $2/3$ $x \not \in L$ $T$ $O(f(|x|))$ $2/3$

Incondizionatamente, è aperto se per tutti . Barak ha dimostrato che esiste una rigida gerarchia per per macchine con $\mathsf{BPTIME}(n^c) \subseteq \mathsf{BPTIME}(n)$ $c > 1$ $\mathsf{BPTIME}$ $O(\log n)$ consigli. Fortnow e Santhanam lo hanno migliorato con 1 consiglio. Questo mi porta a pensare che dimostrare l'esistenza di una gerarchia temporale probabilistica non sia poi così lontano. D'altra parte, il risultato è ancora aperto e non riesco a trovare alcun progresso dopo il 2004. I riferimenti, come al solito, sono reperibili nello zoo .

La relazione con la derandomizzazione deriva dai risultati di Impagliazzo e Wigderson: hanno dimostrato che sotto un'ipotesi di plausibile complessità, per qualsiasi costante e qualche costante . Dai teoremi della gerarchia temporale classica per il tempo deterministico, ciò implica una gerarchia temporale per il tempo probabilistico. Sto ponendo la domanda opposta: un hiearchy probabilistico colpisce una barriera legata alla dimostrazione dei risultati della derandomizzazione? $\mathsf{BPTIME}(n^d) \subseteq \mathsf{DTIME}(n^c)$ $d$ $c$

EDIT: sto accettando la risposta di Ryan come soluzione più completa.

Se qualcuno ha osservazioni su ciò che si frappone tra noi e dimostra l'esistenza di una gerarchia per il tempo probabilistico, sentiti libero di rispondere / commentare. Naturalmente, la risposta ovvia è che ha una definizione semantica che sfida le tecniche classiche. Sono interessato a osservazioni meno ovvie. $\mathsf{BPTIME}$

— Sasho Nikolov
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$BPP \subseteq TIME[2^{n^{c}}]$ $c$ $EXP \neq BPP$

$EXP \neq BPP$
$BPP \subseteq TIME[2^{n^{c}}]$ $EXP \neq BPP$

$EXP \neq BPP$ $EXP \neq BPP$

— Ryan Williams
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Bello. Quindi esiste una forte barriera contro la dimostrazione che esiste una barriera correlata alla derandomizzazione alla dimostrazione di PTH.

— Sasho Nikolov,

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Non è difficile derivare una gerarchia temporale probabilistica se BPP = EXP, il caso estremo di nessuna derandomizzazione.

— Lance Fortnow
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E non hai bisogno di BPP = EXP, hai solo bisogno di BPP non in DTIME (2 ^ {n ^ c)}) per una costante c> 1. Cioè, hai solo bisogno che BPP sia difficile per DTIME, non quel BPP può risolvere i linguaggi E-complete. Ciò afferma che l'estrema mancanza di derandomizzazione implica una gerarchia. Che dire della mancanza intermedia di derandomizzazione?

— Jeff KInne,

Buone osservazioni. Quindi, un collasso è buono quanto un collasso per stabilire una gerarchia. Ciò mina la mia motivazione, ma, tecnicamente parlando, non è ancora possibile che una gerarchia probabilistica implichi la derandomizzazione, anche se la mancanza di derandomizzazione implica una gerarchia probabilistica (un'affermazione falsa può implicare un'affermazione vera)? La domanda più vaga su quali barriere il problema della gerarchia BPP colpisce ancora rimane valida. Ad esempio è possibile che BPP abbia una gerarchia per tutti gli oracoli (la questione irrisolta di Fortnow-Sipser'89), quindi la relativizzazione non è un problema?

— Sasho Nikolov,