Il programma GCT di Mulmuley

Talvolta si afferma che la teoria della complessità geometrica di Ketan Mulmuley è l'unico programma plausibile per risolvere le questioni aperte della teoria della complessità come la domanda P vs. NP. Ci sono stati molti commenti positivi di famosi teorici della complessità sul programma. Secondo Mulmuley ci vorrà molto tempo per raggiungere i risultati desiderati. Entrare nell'area non è facile per i teorici della complessità generale e necessita di notevoli sforzi per ottenere una conoscenza della geometria algebrica e della teoria della rappresentazione.

1. Perché GCT è considerato in grado di stabilizzare P vs. NP? Qual è il valore del reclamo se si prevede che ci vorranno più di 100 anni per raggiungerlo? Quali sono i suoi vantaggi rispetto ad altri approcci attuali e quelli che potrebbero aumentare nei prossimi 100 anni?

2. Qual è lo stato attuale del programma?

3. Qual è il prossimo obiettivo del programma?

4. C'è stata qualche critica fondamentale al programma?

Preferirei risposte comprensibili da un teorico della complessità generale con il minimo background ipotizzato dalla geometria algebrica e dalla teoria della rappresentazione.

Come sottolineato da molti altri, molte di queste domande sono già state dette da Mulmuley, Regan e altri. Offrirò qui solo un breve riassunto di quelli che penso siano alcuni punti chiave che non sono stati ancora menzionati nei commenti.

1. Quanto al motivo per cui GCT è plausibilmente in grado di mostrare molte risposte sono già state date altrove e nei commenti sopra, anche se penso che nessuno abbia ancora menzionato che sembra evitare le barriere conosciute (relativizzazione, algebrizzazione, prove naturali ). Quanto al suo valore - penso che anche se ci impiegheranno 100 anni, impareremo qualcosa di nuovo sulla complessità lungo il cammino studiandola da questo punto di vista.$P \neq NP$

2. • Si stanno compiendo alcuni progressi nella comprensione delle varietà algebriche, delle rappresentazioni e delle domande algoritmiche che sorgono in GCT. I principali ricercatori che conosco e che hanno lavorato a questo proposito sono (in nessun ordine particolare): P. Burgisser, C. Ikenmeyer, M. Christandl, JM Landsberg, KV Subrahmanyan, J. Blasiak, L. Manivel, N. Ressayre, J. Weyman, V. Popov, N. Kayal, S. Kumar, e ovviamente K. Mulmuley e M. Sohoni.

   • Più concretamente, Burgisser e Ikenmeyer hanno appena presentato (STOC 2011) alcuni limiti inferiori modesti sulla moltiplicazione della matrice usando l'approccio GCT ( , rispetto all'attuale 3 più noto $n^2 + 2$$\frac{3}{2}n^2 +O(n)$

   • N. Kayal ha un paio di articoli sulla questione algoritmica del test quando un polinomio è nell'orbita di un altro o è una proiezione di un altro. Egli mostra che in generale questi problemi sono NP-difficili ma che per funzioni speciali come polinomi simmetrici permanenti, determinanti ed elementari, questi problemi sono decidibili in P. Questo è un passo verso alcune congetture di Mulmuley (che alcuni problemi più difficili - decidere l'orbita chiusura - sono in P per funzioni speciali come determinante).

3. Non ho molto più specifico da dire su questo rispetto alla risposta a 2.

4. Per quanto ne so non ci sono state critiche fondamentali , nel senso che non ho visto alcuna critica che screditi davvero il programma in alcun modo. Si è sicuramente discusso sul perché tali tecniche dovrebbero essere necessarie, sul valore del programma visti i lunghi orizzonti previsti, ecc., Ma le definirei più come una discussione salutare che una critica fondamentale.

Penso che questo articolo di Ketan D. Mulmuley risponderà almeno alla domanda n. 1 (possibilmente 2) su P vs. NP e teoria della complessità geometrica