Puzzle con bastoncini da taglio

Problema: ci viene fornito un set di stick tutti con lunghezza intera. La somma totale delle loro lunghezze è n (n + 1) / 2.

Possiamo romperli per ottenere bastoncini di dimensioni in tempo polinomiale? ${1,2,\ldots,n}$

Sorprendentemente, l'unico riferimento che trovo per questo problema è questa antica discussione:

http://www.iwriteiam.nl/cutsticks.html

Cos'altro si sa sul problema? Possiamo dimostrare che il problema è "nel limbo"?

Aggiornamento: il problema degli stick di taglio ha il vincolo che ogni stick sia lungo almeno unità. (Vedi i commenti e la risposta di Tsuyoshi per il caso non vincolato).$n$

Attenzione: come Jukka Suomela ha commentato sulla domanda, la pagina collegata alla domanda riguarda un problema diverso dal problema indicato nella domanda in quanto il problema sulla pagina ha una limitazione che le lunghezze di determinati bastoncini sono maggiori o uguali a n. Questa risposta riguarda il problema senza questa limitazione. Poiché il commento di Emil sulla domanda si riferisce al problema con la restrizione, non vi è alcuna contraddizione tra il suo commento e la seguente risposta.

Il problema è NP-completo, anche se i numeri sono indicati in modo unario.

Il problema delle 3 partizioni è il seguente problema:
Istanza : numeri interi positivi a ₁ ,…, a _n in unario, dove n = 3m e la somma di n numeri interi è uguale a mB, in modo che ciascuno a _i soddisfi B / 4 < a _i <B / 2.
Domanda : gli interi a ₁ , ..., _{n possono} essere partizionati in m multiset in modo che la somma di ciascun multiset sia uguale a B?

Il problema delle 3 partizioni è NP-completo anche se un ₁ , ..., un _n sono tutti distinti [HWW08] (grazie a Serge Gaspers per avermelo detto ). È possibile ridurre questa versione limitata del problema delle 3 partizioni al problema in questione come segue.

Supponiamo che ci venga data un'istanza del problema delle 3 partizioni consistente in interi positivi distinti a ₁ , ..., a _n . Sia m = n / 3 e B = (a ₁ +… + a _n ) / m e sia N il massimo tra a _i . Considera la seguente istanza del problema dello stick: l'istanza è costituita da uno stick di lunghezza k per ogni k∈ {1, ..., N} ∖ {a ₁ , ..., a _n } e m stick di lunghezza B. Utilizzando il fatto che ciascuno un _io soddisfa un _i > B / 4 ≥ N / 2, è facile dimostrare che questo problema bastone ha soluzione se e solo se l'istanza del problema 3-partizione ha una soluzione.

Riferimenti

[HWW08] Heather Hulett, Todd G. Will, Gerhard J. Woeginger. Realizzazioni multigrafo di sequenze di gradi: la massimizzazione è facile, la minimizzazione è dura. Operations Research Letters , 36 (5): 594-596, settembre 2008. http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004