Limiti inferiori delle dimensioni della formula per le funzioni AC0

Domanda:

Qual è il limite inferiore della formula più noto per una funzione esplicita in AC ⁰ ? Esiste una funzione esplicita con un limite inferiore ? $\Omega(n^2)$

Sfondo:

Come la maggior parte dei limiti inferiori, i limiti inferiori della dimensione della formula sono difficili da trovare. Sono interessato ai limiti inferiori delle dimensioni della formula rispetto al set di gate universale standard {AND, OR, NOT}.

La dimensione della formula più nota per il limite inferiore per una funzione esplicita su questo set di gate è per una funzione definita da Andreev. Questo limite è stato mostrato da Håstad, migliorando il limite inferiore di Andreev di . Un altro limite inferiore esplicito è il limite inferiore Khrapchenko per la funzione di parità. $\Omega(n^{3-o(1)})$ $\Omega(n^{2.5-o(1)})$ $\Omega(n^2)$

Tuttavia, queste due funzioni non sono in AC ⁰ . Mi chiedo se conosciamo una funzione esplicita in AC ⁰ con un limite inferiore quadratico (o migliore). Il limite migliore di cui sono a conoscenza è il limite inferiore per la funzione Element Distinctness, come mostrato da Nechiporuk. Nota che la funzione di distinzione degli elementi è in AC ⁰ , quindi sto cercando un limite inferiore per una funzione AC ⁰ esplicita che sia migliore di , preferibilmente . $\Omega(n^2/\log n)$ $\Omega(n^2/\log n)$ $\Omega(n^2)$

Ulteriori letture:

Un'eccellente risorsa sull'argomento è "Boolean Function Complexity: Advances and Frontiers" di Stasys Jukna. Una bozza del libro è disponibile gratuitamente sul suo sito web.

— Robin Kothari
fonte

La ragione della mancanza di legami inferiori superlineari per le funzioni essere una sorta di auto-riducibilità per le funzioni ? vale a dire se abbiamo un limite inferiore (dove non dipende dalla profondità) otteniamo un limite inferiore superpolio.

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

n^{1 + ϵ}

$n^{1+\epsilon}$

ϵ

$\epsilon$

— Kaveh,

@Kaveh: non sono sicuro di aver capito. Abbiamo già un limite inferiore per una funzione in (elemento distintivo).

Ω (n^{2} / \log n)

$\Omega(n^2/\log n)$

A C^{0}

$AC^0$

— Robin Kothari,

Spiacente, sostituisci il superlineare con il super quadratico. Intendo qualcosa di simile al risultato Allender-Koucky per . L'esponente per potrebbe essere più grande. Un tale risultato può spiegare perché è difficile trovare basso per le funzioni .

T C^{0}

$TC^0$

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

— Kaveh,

Sembra che qualsiasi problema che sia completo per sotto le riduzioni di Turing sia fortemente auto-riducibile, ma questo non sembra dare quello che mi aspettavo poiché la dimensione dell'autodiduzione può essere polinomialmente grande.

A C^{0}

$AC^0$

N C^{0}

$NC^0$

— Kaveh,

Risposte:

Una bella domanda! Khrapchenko non può assolutamente dare limiti inferiori quadratici per le funzioni . Il suo limite inferiore è in effetti almeno un quadrato di sensibilità media. E tutte le funzioni in hanno una sensibilità media poliarcaritmica. Apparentemente anche Subbotovskaya-Andreev non può dare una tale funzione perché l'argomento che usano (la restrizione casuale porta a formule molto più piccole) è esattamente la ragione per forzare grandi dimensioni del circuito ; Hastad's Switching Lemma (non sono del tutto sicuro, solo un'intuizione). L'unica speranza è Nechiporuk. Ma il suo argomento non può dare più di , per ragioni teoriche di informazione. Quindi, può essere che tutto in $AC^0$ $AC^0$ $AC^0$ $n^2/\log n$ $AC^0$ ha formule di dimensione quadratica (o anche più piccola)? Non ci credo, ma non sono riuscito a trovare rapidamente un controesempio.

In realtà, il fenomeno Allender-Koucky si pone anche in un altro contesto - nella complessità del grafico. Supponiamo che un circuito di variabili rappresenti un bipartito grafico sui vertici se per ogni vettore di input con esattamente due 1s è, diciamo, posizioni e ( , ) il circuito accetta vertici IFF e sono adiacenti in . Problema: mostra un grafico esplicito richiede almeno $2n$ $n\times n$ $G$ $V=\{1,\ldots,2n\}$ $a$ $i$ $j$ $i\leq n$ $j>n$ $a$ $i$ $j$ $G$ $G$ $n^{\epsilon}$ cancelli da rappresentare con un monotono Sigma_3. Sembra una domanda innocente (dal momento che la maggior parte dei grafici richiede circa gate. Ma un tale grafico ci darebbe una funzione booleana di variabili che richiedono circuiti di profondità di log non monotone di dimensioni superlineari ( dai risultati di Valiant). Pertanto, anche provare limiti inferiori per i circuiti di profondità 3 può essere una sfida. $\Sigma_3$ $n^{1/2}$ $2m=2\log n$ $n^{\epsilon}$

— Stasys
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Benvenuto in cstheory. :) (a proposito, il tuo nuovo libro sembra piuttosto interessante, purtroppo non sono un madrelingua inglese, quindi non posso fare a meno di rileggerlo.)

— Kaveh

In realtà, a questo punto sono anche molto importanti eventuali commenti / critiche sui contenuti / riferimenti e così via. La versione attuale è qui . Utente: amico Password: catchthecat

— Stasys

Grazie :) Leggerò gli ultimi capitoli sulla complessità della prova proposizionale.

— Kaveh,

Grazie mille per la risposta! Se pensi a una funzione in che congetture richiede una formula di dimensioni , sarò interessato a sapere.

A C^{0}

$AC^0$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Robin Kothari,

Grazie, Kaveh, per aver voluto dare un'occhiata ai capitoli sulla complessità delle prove!

Per quanto riguarda la domanda di Robin, innanzitutto che la nota contiene funzioni che richiedono formule (e persino circuiti) di dimensioni per qualsiasi costante . Questo segue, diciamo, da un semplice fatto che contiene tutti i DNF con monomi costantemente lunghi. Pertanto, contiene almeno funzioni distinte, per qualsiasi . D'altra parte, disponiamo al massimo di funzioni calcolabili con formule di dimensione . $AC^0$ $n^k$ $k$ $AC^0$ $AC^0$ $\exp(n^k)$ $k$ $\exp(t\log n)$ $t$

Ho discusso brevemente del problema di ottenere espliciti limiti inferiori di o più grandi con Igor Sergeev (dell'università di Mosca). Una possibilità potrebbe essere quella di utilizzare il metodo di Andreev, ma applicato ad un'altra funzione più semplice calcolabile anziché alla parità. Cioè, si consideri una funzione di variabili della forma dove e è una funzione in di variabili; è la funzione più complessa delle variabili ( è sufficiente la semplice esistenza di ). Abbiamo solo bisogno che la funzione $n^2$ $n$ $F(X)=f(g(X_1),\ldots,g(X_b))$ $b=\log n$ $g$ $AC^0$ $n/b$ $f$ $b$ $f$ $g$ non può essere "ucciso" nel seguente senso: se correggiamo tutte le variabili tranne in , allora deve essere possibile correggere tutte le variabili rimanenti tranne una di modo che la sottofunzione di ottenuta sia una singola variabile. Quindi applicando l'argomento di Andreev e usando il risultato di Hastad secondo cui la costante di riduzione è almeno (non solo come mostrato in precedenza da Sybbotovskaya), il limite inferiore risultante per sarà di circa . Naturalmente, sappiamo che ogni funzione in può essere eliminata correggendo tutte le variabili tranne , per alcune costanti $k$ $X$ $g$ $g$ $2$ $3/2$ $F(X)$ $n^3/k^2$ $AC^0$ $n^{1/d}$ $d\geq 2$ . Ma per ottenere un limite inferiore di basterebbe trovare una funzione esplicita in che non può essere eliminata correggendo tutte le variabili , ma, per esempio, . Si dovrebbe cercare una tale funzione in profondità maggiore di due. $n^2$ $AC^0$ $n^{1/2}$

In realtà, per la funzione come sopra, si possono ottenere limiti inferiori su tramite un semplice argomento avido, senza Nechiporuk, senza Subbotovskaya e senza restrizioni casuali! Per questo, è semplicemente sufficiente che la "funzione interna" g (Y) sia non banale (dipende da tutte le sue variabili ). Inoltre, il limite vale per qualsiasi base di fan-gate costanti, non solo per le formule di De Morgan. $F(X)$ $n^2/\log n$ $n/b$

Prova: data una formula per con foglie , seleziona in ogni blocco una variabile che appare come il numero più piccolo di volte come una foglia. Quindi imposta tutte le variabili rimanenti sulle costanti corrispondenti in modo che ciascuna si trasformi in una variabile o nella sua negazione. La formula ottenuta sarà quindi almeno volte inferiore alla formula originale. Pertanto, è almeno volte la dimensione della formula di , ovvero . QED $F(X)$ $s$ $X_i$ $g(X_i)$ $n/b$ $s$ $n/b=n/\log n$ $2^b/\log b=n/\log\log n$ $f$ $s\geq n^{2-o(1)}$

Per ottenere o più, è necessario incorporare l'effetto di restringimento di Subbotovskaya-Hastad sotto restrizioni casuali. Un possibile candidato potrebbe essere una versione della funzione di Sipser usata da Hastad per mostrare che i circuiti di profondità sono più potenti di quelli di profondità . $n^2$ $(d+1)$ $d$

— Stasys
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