Conduttanza e diametro nei grafici regolari

$G=(V,E)$

min_{S \subset V} \frac{e (S, S^{c})}{min (| S |, | S^{c} |)},

$\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},$

e (S, S^{c})

$e(S,S^c)$

S

$S$

S^{c}

$S^c$

Più concretamente supponiamo che io conosco il diametro è di almeno (o al massimo) . Cosa mi dice questo sulla conduttanza? E, al contrario, supponiamo che io sappia che la conduttanza è al massimo (o almeno) . Cosa mi dice questo sul diametro, se non altro? $D$ $\alpha$

graph-theory co.combinatorics expanders

— robinson
fonte

Sembra che la proprietà che stai chiedendo sia l' espansione del grafico anziché la conduttanza del grafico, che è definita come , dove è definito come . Qual è la proprietà che vuoi ??

min_{S \subseteq V} e (S, \bar{S}) / min {v o l (S), v o l (\bar{S})}

$\min_{S \subseteq V} \ {e(S,\overline{S})}/{\min\{\mathsf{vol}(S), \mathsf{vol}(\overline{S})\}}$

v o l (S)

$\mathsf{vol}(S)$

\sum_{v \in S} \deg (v)

$\sum_{v \in S} \deg(v)$

— Hsien-Chih Chang 張顯之 il

@ Hsien-Chi Chang - poiché il grafico è regolare, credo che la conduttanza e l'espansione debbano essere uguali fino a un fattore moltiplicativo del grado .

d

$d$

— Robinson,

Ah, non ho notato che il grafico è regolare. Grazie per la spiegazione.

— Hsien-Chih Chang 張顯之 il

@ Hsien-ChihChang 張顯之: ho pensato che l'espansione del grafico e la conduttanza del grafico fossero lo stesso concetto. Hai riferimenti sulla definizione nel tuo commento?

— Tim,

Come osserva Hsieh, la tua definizione di conduttanza è diversa da quella che conosco per un fattore di , dove è il grado del grafico normale. Questo è anche noto come espansione dei bordi per i grafici regolari. $d$ $d$

Una relazione tra espansione dei bordi e diametro è abbastanza facile da mostrare. Intuitivamente, un espansore è "come" un grafico completo, quindi tutti i vertici sono "vicini" tra loro. Più formalmente, lascia

min_{S \subseteq V} \frac{e (S, S^{c})}{d \cdot min {| S |, | S^{c} |}} \geq α

$\min_{S \subseteq V}\ { \frac{ e(S, S^c) }{ d \cdot \min\{|S|, |S^c|\} }} \geq \alpha$

Prendi qualsiasi set di vertici con . Ci sono almeno i bordi che escono da e poiché è regolare, il vicinato di (inclusa stessa) è di dimensioni almeno . Applicando induttivamente questa affermazione, a partire da per qualsiasi vertice $S$ $|S| \leq |V|/2$ $\alpha d |S|$ $S$ $G$ $d$ $S$ $S$ $(1+\alpha)|S|$ $S = \{u\}$ $u$ , Vediamo che per qualche , 's -hop quartiere ha dimensioni almeno . Pertanto, il vicinato shop di qualsiasi vertice deve intersecare il vicinato -hop di , oppure il grafico avrebbe più di vertici, una contraddizione. Quindi hai $t = O(\log_{1 + \alpha } |V|)$ $u$ $t$ $|V|/2$ $t+1$ $v$ $t$ $u$ $|V|$

D = O (\frac{\log | V |}{\log (1 + α)})

$D = O\left(\frac{\log |V|}{\log (1 + \alpha)}\right)$

Naturalmente, ne consegue anche che avere un limite inferiore sul diametro implica un limite superiore sull'espansione del bordo.

Non credo che il diametro ridotto implichi conduttanza. Se non insisti su grafici regolari (e usi la definizione di Hsieh), due grafici completi collegati da un singolo bordo forniscono un controesempio.

— Sasho Nikolov
fonte

Sto per pubblicare una risposta e ora non è necessario, posso invece semplicemente votare la tua;) Grazie per la buona risposta!

— Hsien-Chih Chang 張顯之 il

Spero che il tempo totale trascorso da te e dalla ricerca sia stato ridotto al minimo :)

— Sasho Nikolov,

@robinson: questo semplice fatto e la rapida miscelazione sono alla base di molte (la maggior parte?) applicazioni di famiglie di espansori di grafici regolari. la proprietà di piccolo diametro, ad esempio, è la base dell'applicazione per risolvere la connettività nello spazio di log

— Sasho Nikolov,

la mia risposta originale aveva un bug: l'argomento che avevo scritto era per l'espansione dei vertici, ma qui stiamo lavorando con l'espansione dei bordi. ho corretto il bug e il limite ora è leggermente peggiore

— Sasho Nikolov,