Le citazioni che mostrano i minori sono minori topologici per i grafici subcubici

Se è un grafico con il massimo grado 3 ed è minore di , allora è minorenne topologica di . $G$ $H$ $G$ $H$

Wikipedia cita questo risultato dalla "teoria dei grafi" di Diestel. È elencato come Prop 1.7.4 nell'ultima versione del libro. Il libro manca di prove o citazioni.

Si sa dove si trova una prova (originale) di questo?

Inoltre, esiste un riferimento che prova che se è un percorso o una suddivisione di un artiglio ed è un minore di allora è un sottografo di ? È menzionato qui brevemente ma manca di riferimento. $G$ $H$ $G$ $H$

— Eli
fonte

Il libro è disponibile su diestel-graph-theory.com

— Alexander Langer il

Grazie Alessandro. Quella versione del libro non fornisce alcun riferimento o prova della proposta, sai se l'edizione completa ne ha o un'altra fonte?

— Eli,

Ricordo di aver cercato una citazione per il secondo fatto che hai dichiarato, ma non ho trovato nulla. La migliore citazione che conosco per la prima affermazione è il libro di Diestel, che non prova l'affermazione. Aspetterò di vedere se qualcuno trova una citazione. In caso contrario, posterò una prova come risposta.

— Robin Kothari,

@Robin, a questo punto se pubblichi una prova, è abbastanza buono per me. Esiste un modo appropriato per attribuire che questo risultato dovrebbe essere usato da qualche parte? Non ho familiarità con la politica di scambio di stack o la pratica standard.

— Eli,

In realtà, la citazione è già stata discussa e risolta qui: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/352/…

— Aaron Sterling,

Se è un grafico con il massimo grado 3 ed è minore di , allora è minorenne topologica di . $G$ $H$ $G$ $H$

Poiché è un minore di , può essere ottenuto da eliminando i bordi, i vertici isolati ed eseguendo le contrazioni dei bordi. È anche facile dimostrare che possiamo insistere sul fatto che le operazioni dei sottografi vengono eseguite per prime, vale a dire che possiamo prima eseguire tutte le eliminazioni dei bordi e dei vertici e quindi eseguire tutte le contrazioni dei bordi. Inoltre, limitiamo la definizione di "contrazione del bordo" per impedire ai bordi di contrarre dove uno dei vertici ha grado 1. Contrarre un tale bordo equivale a cancellarlo, quindi questo non cambierà la definizione di grafici minori. $G$ $H$ $G$ $H$

Sia il grafico ottenuto da eseguendo prima tutte le eliminazioni dei bordi / vertici. contiene ancora come minore. Se mostriamo che contiene come minore topologico, allora abbiamo finito, poiché la definizione di minore topologico consente anche la delezione dei bordi / vertici. $H'$ $H$ $H'$ $G$ $H'$ $G$

$G$ $H'$ $H'$

$H'$ $G$

$H_1$ $H_2$ $H_2$ $H_1$ $H'$ $G$ $G$ $H'$ $H$

$G$ $H$ $G$ $H$

$G$ $H$ $H$ $H$ $G$

Abbiamo anche avuto bisogno di questo risultato per un documento una volta, quindi abbiamo incluso una breve prova nel nostro documento. È possibile trovare il risultato nella complessità della query Quantum delle proprietà dei grafici con chiusura minore . È menzionato a pagina 13. Tuttavia, questo fatto è nascosto nella prova di qualcos'altro e non è dichiarato esplicitamente come teorema.

Ciò che è anche interessante è che c'è un contrario a questo teorema:

$G$ $G$ $G$

— Robin Kothari
fonte

Grazie. Se ti capita di imbatterti in una citazione pubblicata per questi risultati, mi piacerebbe comunque, ma questo è stellare.

— Eli,

Questa risposta è ora disponibile nel blog della community.

— Aaron Sterling,

Buona risposta, ma penso che la tua tecnica di non consentire le contrazioni di grado 1 abbia un difetto. Ad esempio, considera G = K_4 meno qualsiasi bordo. La contrazione lungo i due vertici del grado 3 in G produrrà il grafico del percorso P_3, con il massimo grado 2. Invece, se non si accettano contrazioni su un bordo che equivarrebbe ad una certa cancellazione, la prova dovrebbe passare attraverso. Formalmente, proibisci qualsiasi contrazione tra vertice xey se gamma (x) \ {y} = gamma (y) \ x. È facilmente dimostrato che qualsiasi contrazione che non viola questo vincolo si tradurrà in un nuovo vertice di grado non ridotto.

— RussellStewart,

@ user2237635: Hai ragione, grazie.

— Robin Kothari,