Esiste un limite inferiore migliore del lineare per il factoring e il log discreto?

Ci sono riferimenti che forniscono dettagli sui limiti inferiori del circuito per specifici problemi difficili che si verificano nella crittografia come factoring intero, problema logaritmo discreto primo / composito e la sua variante rispetto a un gruppo di punti di curve ellittiche (e le loro varietà abeliane di dimensione superiore) e il generale problema del sottogruppo nascosto?

In particolare, qualcuno di questi problemi ha più di una complessità lineare inferiore?

— vs
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Naturalmente, sai che non è noto un limite inferiore migliore di 5n per la complessità del circuito, per <i> qualsiasi </i> funzione esplicita, non solo per quelle che hai menzionato. Quindi, dovresti specificare la domanda. I limiti migliori sono noti solo per i circuiti con restrizioni . Forse potresti trovare alcune risposte parziali sulla home page di <a href=" web.science.mq.edu.au/~igor "rel="nofollow"> Igor Sparlinski. </a>

— Stasys

Bene, non sono del tutto sicuro di cosa intendi con "questo fatto interessante". Ad ogni modo, l'attuale stato dell'arte nella complessità dei circuiti è riportato nel mio prossimo libro thi.informatik.uni-frankfurt.de/~jukna/BFC-book . Utente: amico Password: catchthecat

— Stasys

@Stasys, ricordo che uno studente russo ha parlato del loro limite inferiore del modulo 7n + O (1) basato sull'eliminazione dei cancelli nella scuola di caduta di Praga due anni fa, ma non ricordo altri dettagli.

— Kaveh,

Kaveh, questo a (7/3) nc limite inferiore, non 7n. È stato dimostrato da Arist Kojevnikov e Sasha Kulikov di Pietroburgo. Il vantaggio della loro prova è la sua semplicità, non numerica. Successivamente hanno fornito una semplice prova del limite inferiore di 3n-o (1) per i circuiti generali (sono consentite tutte le porte fanin-2). Anche se per funzioni molto complicate - dispersori affini. I documenti sono online su: logic.pdmi.ras.ru/~kulikov/papers . In realtà, Redkin (1973) mostrò uno stretto legame 7n-7 per la funzione di parità, ma solo se solo le porte NOT e AND sono consentite. Se è permesso anche OR, allora il suo limite è 4n-4 (anche stretto!).

— Stasys,

@StasysJukna: una combinazione dei tuoi commenti è appropriata come risposta.

— Suresh Venkat,

@Suresh: seguendo i tuoi consigli, ecco la mia "risposta". Lo stato dei limiti inferiori del circuito è abbastanza deprimente. Ecco i "record attuali":

$4n-4$ per circuiti su e per circuiti su e computing ; Redkin (1973). Questi limiti sono stretti. $\{\land,\lor,\neg\}$ $7n-7$ $\{\land,\neg\}$ $\{\lor,\neg\}$ $\oplus_n(x)=x_1\oplus x_2\oplus\cdots\oplus x_n$
$5n-o(n)$ per circuiti sopra la base con tutte le porte fanin-2, tranne la parità e la sua negazione; Iwama e Morizumi (2002).
$3n-o(n)$ per circuiti generali sulla base con tutte le porte fanin-2; Blum (1984). Arist Kojevnikov e Sasha Kulikov di Pietroburgo hanno trovato una prova più semplice di un limite inferiore . Il vantaggio della loro prova è la sua semplicità, non numerica. Successivamente hanno fornito una semplice prova del limite inferiore di per i circuiti generali (sono consentite tutte le porte fanin-2). Anche se per funzioni molto complicate - dispersori affini. I documenti sono online qui . $(7/3)n-o(1)$ $3n-o(1)$
$n^{3-o(1)}$ per le formule su ; Hastad (1998). $\{\land,\lor,\neg\}$
$\Omega(n^2/\log n)$ per le formule fanin- generali , per i programmi di ramificazione deterministica e per programmi di ramificazione non deterministici; Nechiporuk ~ (1966). $2$ $\Omega(n^2/\log^2 n)$ $\Omega(n^{3/2}/\log n)$

Quindi, la tua domanda "In particolare uno di questi problemi ha più di una complessità lineare inferiore?" rimane ampiamente aperto (nel caso dei circuiti). Il mio appello a tutti i giovani ricercatori: vai avanti, queste "barriere" non sono infrangibili! Ma prova a pensare in modo "non naturale", nel senso di Razborov e Rudich.

— Stasys
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Questo è il documento di Hastad del 1998? nada.kth.se/~johanh/monotoneconnect.pdf Non credo che il limite implichi 'non'. Inoltre l'esponente è quadratico.

— T ....

@JA: No, questo è in un altro suo articolo dello stesso anno J. Håstad, The Shrinkage Exponent is 2, SIAM Journal on Computing, 1998, Vol 27, pp 48-64.

— Stasys,

Sembra che nessuno abbia aggiornato questa risposta con i nuovi risultati, quindi lo farò qui. L'articolo del 2015 di Magnus Find, Alexander Golovnev, Edward A. Hirsch e Alexander S. Kulikov "Un limite inferiore a 3n per la complessità del circuito di una funzione esplicita". dà un limite inferiore . Forse questo rende le cose un po 'meno deprimenti.

(3 + Ω (1)) n

$(3+\Omega(1))n$

— Manu,